Giúp mình với! Câu 61 [802327]: Đạo hàm của hàm số $y=5\sin x-3\cos x$ tại $x_0=\frac\pi2$ là,$A.~y^\prime(\frac\pi2)=3.$ $B.~y^\prime(\frac\pi2)=5.$,$C.~y^\prime(\frac\pi2)=-3.$ $D.~y^\prime(\frac\pi2)=-5.$,Câu 62 [256574]: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như hình sau:

Question

Accepted Answer

Câu 61:
Để tìm đạo hàm của hàm số $ y = 5\sin x - 3\cos x $ tại $ x_0 = \frac{\pi}{2} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm đạo hàm của hàm số $ y = 5\sin x - 3\cos x $:
   - Đạo hàm của $ 5\sin x $ là $ 5\cos x $.
   - Đạo hàm của $ -3\cos x $ là $ 3\sin x $.

Do đó, đạo hàm của $ y $ là:
   $$
   y' = 5\cos x + 3\sin x
   $$

2. Thay $ x_0 = \frac{\pi}{2} $ vào đạo hàm $ y' $:
   - Ta biết rằng $ \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0 $ và $ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1 $.

Do đó:
   $$
   y'\left( \frac{\pi}{2} \right) = 5\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + 3\sin \left( \frac{\pi}{2} \right)
   $$
   $$
   y'\left( \frac{\pi}{2} \right) = 5 \cdot 0 + 3 \cdot 1
   $$
   $$
   y'\left( \frac{\pi}{2} \right) = 3
   $$

Vậy đáp án đúng là:
$$ A.~y'\left( \frac{\pi}{2} \right) = 3 $$

Câu 62:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích bảng biến thiên của hàm số $ y = f(x) $. Tuy nhiên, vì bảng biến thiên không được cung cấp trong nội dung câu hỏi, tôi sẽ giả sử rằng bảng biến thiên đã cho các thông tin về khoảng tăng giảm của hàm số và các điểm cực trị.

Giả sử bảng biến thiên của hàm số $ y = f(x) $ như sau:

$$
\begin{array}{c|c|c}
x & -\infty & +\infty \
\hline
f'(x) & - & + \
\hline
f(x) & -\infty & +\infty \
\end{array}
$$

Trong đó, $ f'(x) $ là đạo hàm của $ f(x) $.

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành các bước phân tích:

1. Xác định khoảng tăng giảm của hàm số:
   - Hàm số $ f(x) $ giảm trên khoảng $ (-\infty, 0) $ vì $ f'(x) < 0 $.
   - Hàm số $ f(x) $ tăng trên khoảng $ (0, +\infty) $ vì $ f'(x) > 0 $.

2. Xác định các điểm cực trị:
   - Tại $ x = 0 $, hàm số chuyển từ giảm sang tăng, do đó $ x = 0 $ là điểm cực tiểu của hàm số.
   - Giá trị cực tiểu của hàm số tại $ x = 0 $ là $ f(0) $.

3. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có):
   - Vì hàm số $ f(x) $ có xu hướng tiến đến $ -\infty $ khi $ x \to -\infty $ và $ +\infty $ khi $ x \to +\infty $, nên hàm số không có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ miền xác định.

Tóm lại, dựa trên bảng biến thiên giả định, chúng ta có thể kết luận:
- Hàm số $ f(x) $ giảm trên khoảng $ (-\infty, 0) $.
- Hàm số $ f(x) $ tăng trên khoảng $ (0, +\infty) $.
- Hàm số có điểm cực tiểu tại $ x = 0 $ với giá trị cực tiểu là $ f(0) $.
- Hàm số không có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ miền xác định.

Lưu ý: Các kết luận trên dựa trên giả định về bảng biến thiên. Để có kết luận chính xác, cần dựa vào bảng biến thiên thực tế của hàm số $ y = f(x) $.