Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm tr...

Loại bài toán: Bài toán về tam giác và đường thẳng song song trong hình học. Giải bài toán: a) Chúng ta cần chứng minh AC = EB và AC // BE Vì M là trung điểm của BC nên theo định lý về đường kính, ta có AM = MC. Do ME = MA (được cho từ đề), nên ta có AM = ME. Vậy, tam giác AME là tam giác cân tại A. Do đó, góc EAM = góc AEM. Lại có góc EAC = góc BAM (do AC // BM và theo tính chất các góc tạo bởi một cặp đường thẳng song song và một đường chéo). Vậy, tam giác AEC cân tại A. Do đó, AC = AE. Từ AE = AM + ME = AB + BM = BC (vì M là trung điểm của BC) => AC = BC - AB. Mà EB cũng bằng BC - AB (vì E nằm trên tia phản của MA). Vậy, ta có AC = EB. Đồng thời, do góc EAC = góc BAM và BAM // BE nên AC // BE. b) Chúng ta cần chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng khi AI = EK . Do AI=EK và AC//BE nên IK//CE (theo tính chất các góc tạo bởi một cặp đường thẳng song song và một đường chéo). Vì IK//CE và IM là phân giác trong của ∠EIC nên M thuộc IK. Vậy, I, M, K thẳng hàng.