Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn có AB

Question

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh HEHB = HFHC
b) Chứng minh EHF ~ ACHB.
c) Chứng minh EH là tia phân giác của góc DEC.

Hiền Anh · Accepted Answer

GÕ ĐỀ BÀI CHO CẨN THẬN!!!
a)
Xét $\displaystyle \Delta BFH\ và\ \Delta CEH$ có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
góc\ HEB=góc\ HEC=90^{o}\
góc\ FHB=góc\ EHC\
\Rightarrow \Delta BFH\sim \Delta CEH\ ( g.g)\
\Rightarrow \frac{HF}{HE} =\frac{HB}{HC}\
\Rightarrow HF.HC=HB.HE
\end{array}$
b)
Xét $\displaystyle \Delta HFE\ và\ \Delta HBC$ có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
góc\ FHE=góc\ BHC\
\frac{HF}{HE} =\frac{HB}{HC}\
\Rightarrow \Delta HFE\sim \Delta HBC\ ( c.g.c)
\end{array}$
c)
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Delta HFE\sim \Delta HBC\
\Rightarrow góc\ FEH=góc\ HCB
\end{array}$
Xét $\displaystyle \Delta BDH\ và\ \Delta BEC$ có:
Chung $\displaystyle góc\ B$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
góc\ BDH=góc\ BEC=90^{o}\
\Rightarrow \Delta BDH\sim \Delta BEC\ ( g.g)\
\Rightarrow \frac{BH}{BC} =\frac{BD}{BE}
\end{array}$
Xét $\displaystyle \Delta EDB\ và\ \Delta CHB$ có:
Chung $\displaystyle góc\ B$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\frac{BH}{BC} =\frac{BD}{BE}\
\Rightarrow \Delta EDB\sim \Delta CHB\ ( c.g.c)\
\Rightarrow góc\ BED=góc\ BCH
\end{array}$
mà $\displaystyle góc\ FEH=góc\ HCB$
$ $ $\displaystyle \Rightarrow góc\ FEH=góc\ DEH$
Suy ra $\displaystyle EH$ là phân giác $\displaystyle góc\ FED$

Timi · Answer

a) Ta có:
$$ \frac{HE}{HF} = \frac{sin\angle HFE}{sin\angle HEF} = \frac{sin\angle HCB}{sin\angle HBC} = \frac{HC}{HB} $$
Do đó, $ HE \cdot HB = HF \cdot HC $, tức là $ HEHB = HFHC $.

b) Ta có:
$$ \frac{EH}{AC} = \frac{BE}{BC},\  \frac{HF}{AB} = \frac{CF}{BC}  $$
Vậy $ EH:HF = BE:CF = AB:AC  $.
Do đó, theo định lí cạnh và góc tương tỉ, ta có $ EHF ~ ACHB  $.

c) Ta có:
$$ sin\angle DEH = sin(90^\circ - C) = cosC,\ sin\angle CEH = sin(90^\circ - B) = cosB  $$
Vậy $ sin\angle DEH : sin\angle CEH = cosC : cosB  $.
Do đó, theo định lí phân giác, ta có $ EH  là tia phân giác của góc DEC.  $.

Bài 3. Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC và các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh HEHB = HFHC b) Chứng minh EHF ~ ACHB. c) Chứng minh EH là tia phân giác của góc DEC.