có hình vẽ Từ 12 có $AB//DF5~(cpcm)$,A4: Cho $\Delta ABC$ cân tại A, các đường T. tuyến BM, CN $BM,CN$,cắt nhau tại $G.$,$a)~CM:~\Delta ABM=\Delta ACN$ và $BM=CN$,b) CM : $GM\frac{BC}4$

Question

có hình vẽ Từ 12 có $AB//DF5~(cpcm)$,A4: Cho $\Delta ABC$ cân tại A, các đường T. tuyến BM, CN $BM,CN$,cắt nhau tại $G.$,$a)~CM:~\Delta ABM=\Delta ACN$ và $BM=CN$,b) CM : $GM>\frac{BC}4$

Accepted Answer

a) BM, CN là trung tuyến của $\displaystyle \vartriangle ABC$
⟹ $\displaystyle AN\ =\ BN\ =\ \frac{AB}{2}$ và $\displaystyle AM\ =\ CM\ =\ \frac{AC}{2}$
$\displaystyle \vartriangle ABC$ cân tại $\displaystyle A$
⟹ $\displaystyle AB\ =\ AC$
⟹ $\displaystyle \frac{AB}{2} \ =\ \frac{AC}{2}$
⟹ $\displaystyle AN\ =\ BN\ =\ AM\ =\ CM$
Xét $\displaystyle \vartriangle ABM$ và $\displaystyle \vartriangle ACN$ có
$\displaystyle AM\ =\ AN$
$\displaystyle \widehat{BAC}$ chung
$\displaystyle AB\ =\ AC$
⟹ $\displaystyle \vartriangle ABM\ =\ \vartriangle ACN\ ( c.g.c)$
⟹ $\displaystyle BM\ =\ CN$ (2 cạnh tương ứng)
b) BM, CN là trung tuyến của $\displaystyle \vartriangle ABC$ và BM cắt CN tại G
⟹ G là trọng tâm $\displaystyle \vartriangle ABC$
⟹ $\displaystyle GM\ =\ \frac{1}{2} GB$
$\displaystyle \vartriangle ABC$ cân tại $\displaystyle A$
⟹ $\displaystyle \widehat{ABC} \ =\ \widehat{ACB}$
$\displaystyle \vartriangle ABM\ =\ \vartriangle ACN$
⟹ $\displaystyle \widehat{ABM} \ =\ \widehat{ACN}$
⟹ $\displaystyle \widehat{ABC} \ -\ \widehat{ABM} \ =\ \widehat{ACB} \ -\ \widehat{ACN}$
⟹ $\displaystyle \widehat{GBC} \ =\ \widehat{GCB}$
⟹ $\displaystyle \vartriangle GBC$ cân tại $\displaystyle G$
⟹ $\displaystyle GB\ =\ GC$
Xét $\displaystyle \vartriangle GBC$ có $\displaystyle GB\ +\ GC\ >\ BC$ mà $\displaystyle GB\ =\ GC$
⟹ $\displaystyle 2GB\ >\ BC$
mà $\displaystyle GB\ =\ 2GM$
⟹ $\displaystyle 2.2GM\ >\ BC$ ($\displaystyle GM\ =\ \frac{1}{2} GB$)
⟹ $\displaystyle GM\ >\ \frac{BC}{4}$