Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn, CD là tia phân giác của góc ACB (D thuộc AB). Từ D kẻ DE vuông góc AC tại E, DF vuông góc BC tại F. Đường thẳng DE cắt BC tại K, đường thẳng DF cắt AC tại H.
a) Chứng minh ∆ECD =∆FCD và ∆ECK = ∆FCH
b) Gọi M là trung điểm HK. Chứng minh C, D, M thẳng hàng
c) Đường thẳng qua A vuông góc với HD cắt CM tại I. Chứng minh tam giác IKD cân

Question

Accepted Answer

a) Do CD là tia phân giác của $\displaystyle \hat{C}$⟹ $\displaystyle \widehat{ECD\ } =\ \widehat{FCD}$
Xét $\displaystyle \vartriangle ECD$ và $\displaystyle \vartriangle FCD$ có:
$\displaystyle \widehat{DFC} \ =\ \widehat{DEC} \ =\ 90^{0}$ ( do $\displaystyle DE\ \bot \ AC\ ;\ DE\ \bot \ BC$ )
$\displaystyle DC$ chung
$\displaystyle \widehat{ECD\ } =\ \widehat{DCF}$ ( cmt )
⇒ $\displaystyle \vartriangle ECD\ =\ \vartriangle DCF$ ( cạnh huyền - góc nhọn ) (1)
Xét $\displaystyle \vartriangle ECK$ và $\displaystyle \vartriangle FCH$ có:
$\displaystyle \widehat{KEC\ } =\ \widehat{HFC} \ =\ 90^{0}$
$\displaystyle EC\ =\ CF$ ( cmt )
$\displaystyle \widehat{ECF}$ chung
⇒ $\displaystyle \vartriangle ECK\ =\ \vartriangle FCD$ ( cạnh góc vuông ; góc nhọn )
b)
$\displaystyle \vartriangle KHC$ có:
$\displaystyle HF\ \bot \ KC\ ;\ KE\ \bot \ HC$
$\displaystyle HF\ \cap \ KE\ =\ D$
⇒ $\displaystyle D\ $là trực tâm $\displaystyle \vartriangle KHC$
⇒ $\displaystyle CD\ \bot \ HK$
$\displaystyle \vartriangle ECK\ =\ \vartriangle FCD\ \Rightarrow \ CK\ =\ HC\ \Rightarrow \ \vartriangle HCK\ $cân tại C
⇒ $\displaystyle CD$ vừa là đường cao , vừa là trung tuyến
⇒ $\displaystyle C,\ D,\ M$ thẳng hàng

Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn, CD là tia phân giác của góc ACB (D thuộc AB). Từ D kẻ DE vuông góc AC tại E, DF vuông góc BC tại F. Đường thẳng DE cắt BC tại K, đường thẳng DF cắt AC tại H. a...