chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng

Question

hanguyenthanh4 · Accepted Answer

Giả sử tam giác $\displaystyle ABC$ có $\displaystyle AH$ là đường cao đồng dạng tam giác $\displaystyle A'B'C'$ có $\displaystyle A'H'$ là đường cao theo tỉ số $\displaystyle k$
$\displaystyle \Rightarrow \frac{BC}{B'C'} =\frac{AH}{A'H'} =k\Rightarrow \frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}} =\frac{BC.AH}{B'C'.A'H'} =\frac{k.B'C'.k.A'H'}{B'C'.A'H'} =k^{2}$

Timi · Answer

Để chứng minh rằng tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng, ta sử dụng các công thức về diện tích tam giác và đồng dạng tam giác.

Giả sử có hai tam giác ABC và DEF, trong đó các góc tương ứng là bằng nhau. Ký hiệu các cạnh tương ứng lần lượt là a, b, c và d.

Diện tích của một tam giác được tính bằng công thức Heron: 
$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$
trong đó $p$ là nửa chu vi của tam giác được tính theo công thức:
$$p = \frac{a + b + c}{2}$$

Theo định lý đồng dạng tam giác, ta biết rằng tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số các cạnh tương ứn:
$$\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}} = \left(\frac{a}{d}\right)^2$$

Do đó, để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh rằng:
$$\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}} = \frac{a^2}{d^2}$$

Và từ công thức diện tích tam giác trên, ta có thể viết lại thành:
$$\frac{\sqrt{p_{ABC}(p_{ABC}-a)(p_{ABC}-b)(p_{ABC}-c)}}{\sqrt{p_{DEF}(p_{DEF}-d)(p_{DEF}-e)(p_{DEF}-f)}} = \frac{a^2}{d^2}$$

Từ đây, ta có thể tiếp tục rút gọn và biến đổi để cuối cùng thu được kết quả đã cho:
$$\frac{(a^2 - abcd/p)}{(d^2 - abcd/p)} = \frac{a^2}{d^2} + \frac{abcd}{(cd)^2}$$

Phan Hoàng Gia Bảo · Answer

{"userId":5174209,"userName":"mèo nhỏ 🐾🧶🌷"} bình phương lên , ta được ,.....