Phương trình chính tắc của elip có tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến hai tiêu điểm bằng 10 và có tiêu cự bằng 2 căn 5 là

Question

huyennguyen3484 · Accepted Answer

Phương trình chính tắc của elip có dạng là $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}} +\frac{y^{2}}{b^{2}} =1( a >b >0)$
Do tổng các khoảng cách từ một điểm bất kì đến hai tiêu điểm của elip bằng 10 nên ta có 2a = 10, suy ra a = 5.
Do elip có tiêu cự bằng $\displaystyle 2\sqrt{5}$ nên $\displaystyle 2c=2\sqrt{5} \Longrightarrow c=\sqrt{5}$
Ta có $\displaystyle c^{2} \ =\ a^{2} \ –\ b^{2}$ nên $\displaystyle b^{2} \ =\ a^{2} –\ c^{2} \ =\ 5^{2} \ –\ 5\ =\ 20.$
Vậy phương trình chính tắc của elip là: $\displaystyle \frac{x^{2}}{25} +\frac{y^{2}}{20} =1$

Timi · Answer

Đây là một bài toán về hình học phẳng, cụ thể là về elip.

Một elip có tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến hai tiêu điểm (gọi là 2f) bằng độ dài trục lớn (gọi là 2a). Vì vậy, ta có 2a = 10. Do đó, a = 5.

Tiêu cự của elip (gọi là c) được tính bằng công thức: c = sqrt(a^2 - b^2), trong đó a và b lần lượt là nửa độ dài trục lớn và nửa độ dài trục nhỏ của elip.

Theo đề bài, ta có c = 2sqrt(5).

Bây giờ, chúng ta sử dụng hai thông tin đã biết để tìm ra giá trị của b. Ta có:

c^2 = a^2 - b^2
=> (2sqrt(5))^2 = 5^2 - b^2
=> 20 = 25 - b^2
=> b^2 = 25 - 20
=> b^2 = 5

Vậy phương trình chính tắc của elip sẽ là:

$$\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} =1$$

Thay các giá trị a và b vào phương trình, ta được:

$$\frac{x^{2}}{5^{2}} + \frac{y^{2}}{\sqrt{5}^{2}} =1$$

Sau khi đơn giản hóa, ta được phương trình chính tắc của elip:

$$x^{2} + 5y^{2} = 25$$

구미호-fox · Answer

Dựa vào thông tin đã biết, ta có thể giải câu hỏi như sau:

Tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên elip đến hai tiêu điểm bằng 2a.
Đã biết rằng elip có tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến hai tiêu điểm bằng 10 và có tiêu cự bằng 2 căn 5.

Từ đó, ta có thể suy ra rằng 2a = 10, suy ra a = 5. Và với tiêu cự c = 2 căn 5.

Do đó, phương trình chính tắc của elip sẽ là ( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{20} = 1 ).

Vậy, phương trình chính tắc của elip có tổng các khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến hai tiêu điểm bằng 10 và có tiêu cự bằng 2 căn 5 là: ( \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{20} = 1 ).