Cho tam giác vuông tại A ( AB > AC ), vẽ phân giác CE (E thuộc AB). Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho CH = CA Gọi N là giao điểm của AH và CE. a) Chứng minh N là trung điểm của AH. b) Gọi D là trung đi...

Đây là một bài toán về hình học trong không gian hai chiều, cụ thể là tam giác vuông và các tính chất liên quan. Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán. a) Để chứng minh N là trung điểm của AH, ta dựa vào định lý Ceva cho tam giác ABC. Theo định lý này, nếu $$, $$ và $$ cắt nhau tại một điểm thì $$. Do CE là phân giác nên $$ hay $$. Vì CH=CA nên $$. Thay vào định lý Ceva ta có: $$ suy ra $$ Nhưng AB > AC nên BC > BA suy ra BN < NC. Vậy N là trung điểm của AH. b) Để chứng minh NK song song với AB, ta dựa vào định lý Thales trong tam giác vuông. Theo định lý này, nếu D là trung điểm của NH thì DK sẽ song song với AB khi và chỉ khi K là trung điểm của EH. Ta có: $$ (vì D là trung điểm của NH) và $$ (do CE là phân giác) Suy ra: $$ Vậy K là trung điểm của EH nên NK song song với AB. c) Để so sánh hai góc ACI và ICQ, ta dựa vào tính chất góc giữa hai đường thẳng cắt nhau. Do AI=IQ=QH nên tam giác AIQ là tam giác đều, suy ra mỗi góc trong tam giác này bằng 60 độ. Vậy góc ACI = góc ICQ = 60 độ.