<p>Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Kẻ đường cao AH (H thuộc BC). Trên tia đối của tia AH lấy điểm D sao cho AD = BC. Gọi E là trung điểm của AC. Gọi F là giao điểm của AC với BD, K là giao điểm của C...

Đây là một bài toán hình học trong không gian, cụ thể là về tam giác và các tính chất liên quan. Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán. 1) Chứng minh rằng A là trọng tâm tam giác BCD. Trước tiên, chúng ta biết rằng trong một tam giác vuông cân, đường cao kẻ từ đỉnh vuông cũng chính là trung tuyến của cạnh đối diện. Do đó, AH là trung tuyến của BC trong tam giác ABC. Khi ta lấy D sao cho AD = BC, ta có tam giác BCD với A là trung điểm của BC. Theo định nghĩa, trọng tâm của một tam giác là điểm giao nhau của ba trung tuyến. Vì vậy, A chính là trọng tâm của tam giác BCD. 2) Chứng minh rằng hai tam giác AFD và CEB bằng nhau. Chúng ta đã biết E là trung điểm của AC nên AE = EC. Ta cũng biết AD = BC do yêu cầu ban đầu. Vì BD cắt AC tại F nên theo tính chất tỉ số đoạn dây, ta có AF/FD = AB/BC = 1 (vì AB=BC). Từ đó suy ra AF=FD. Vì vậy, hai tam giác AFD và CEB có: - AD = BC (đã biết) - AF = EC (vừa chứng minh) - Đường cao tương ứng AD và BC bằng nhau (do tam giác ABC vuông cân) Theo nguyên lý ba đường cao, hai tam giác AFD và CEB bằng nhau. 3) Chứng minh rằng BE vuông góc CD và tính số đo của AKD. Chúng ta đã biết E là trung điểm của AC nên AE = EC. Ta cũng biết AD = BC do yêu cầu ban đầu. Do đó, theo định lý Thales, ta có BE vuông góc CD. Để tính số đo của AKD, chúng ta sử dụng quan hệ giữa trọng tâm và các điểm khác trong tam giác. Trọng tâm chia mỗi trung tuyến thành hai phần tỷ lệ 2:1, với phần lớn hơn gần với đỉnh. Do đó, AK/KD = 2/1. Vì vậy, $$AKD là góc nội tiếp của cung AD nên mà $$AKD = $$ = $$ - $$CAD Vì CAD là một góc vuông (do ABC là tam giác vuông tại A), nên $$AKD = $$ - $$ = $$.