Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=12cm , AC=16cm , đường cao AH, trung tuyến AM
a) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC
b) Tính BC,AH,BH ?
c) Kẻ đường phân giác MO, MI của góc AMB và Góc AMC, Chứng minh OI // AB

Question

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=12cm , AC=16cm , đường cao AH, trung tuyến AM
a) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC 
b) Tính BC,AH,BH ?
c) Kẻ đường phân giác MO, MI của góc AMB và Góc AMC, Chứng minh OI // AB

Akahg1 · Accepted Answer

a) Xét $\displaystyle \vartriangle HBA$ và $\displaystyle \vartriangle ABC$ có
$\displaystyle \hat{B}$ chung
$\displaystyle \widehat{AHB} \ =\ \widehat{CAB} \ =\ 90^{0}$
⟹ $\displaystyle \vartriangle HBA\ \sim \ \vartriangle ABC\ ( g.g)$
b) $\displaystyle \vartriangle ABC$ vuông tại $\displaystyle A$
⟹ $\displaystyle BC^{2} \ =\ AB^{2} \ +\ AC^{2} \ =\ 12^{2} \ +\ 16^{2} \ =\ 20^{2}$
⟹ $\displaystyle BC\ =\ 20$
$\displaystyle \vartriangle HBA\ \sim \ \vartriangle ABC$
⟹ $\displaystyle \frac{AH}{AC} \ =\ \frac{AB}{BC} \ =\ \frac{BH}{AB}$
⟹ $\displaystyle \frac{AH}{16} \ =\ \frac{12}{20} \ =\ \frac{BH}{12}$
⟹ $\displaystyle \begin{cases}
AH\ =\ \frac{16.12}{20} \ =\frac{48}{5} \ \
BH\ =\ \frac{12.12}{20} \ =\ \frac{36}{5}
\end{cases}$

Timi · Answer

a) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC:
Ta có:
- Tam giác ABC vuông tại A
- Đường cao AH và trung tuyến AM
Khi đó, ta có: 
- AH là đường cao nên $ \angle HAB = 90^\circ $
- AM là trung tuyến nên $ BM = MC $

Do đó, theo góc nhọn:
$ \angle HAB = \angle C $ (do cùng bằng 90 độ)
$ \angle BAH = \angle MCB $ (do cùng bằng nhau với góc ngoại tiếp của tam giác ABC)

Vậy ta chứng minh được tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC.

b) Tính BC, AH, BH:
Theo định lý Pythagore trong tam giác vuông:
$ BC^2 = AB^2 + AC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 $
$ BC = \sqrt{400} = 20cm $

Để tính AH và BH, ta sử dụng tỉ lệ trong các tam giác đồng dạng:
$ \frac{AH}{AB} = \frac{AM}{AC} => AH = \frac{AB*AM}{AC} =\frac{12*8}{16}=6cm$
$ BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}=6\sqrt{3} cm$

c) Kẻ đường phân giác MO, MI của góc AMB và Góc AMC. Chứng minh OI // AB:

Ta có: 
- Đường phân giác của một góc chia nó thành hai góc có diện tích bằng nhau.
- Trong tam giác vuông AMB và AMC, ta có MO là đường phân giác của góc AMB và MI là đường phân giác của góc AMC.

Vì diện tích hai tam giác con ABM và ACM bằng nhau nên ta suy ra OI // AB.

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=12cm , AC=16cm , đường cao AH, trung tuyến AM a) Chứng minh tam giác HBA đồng dạng tam giác ABC b) Tính BC,AH,BH ? c) Kẻ đường phân giác MO, MI của góc AMB và Góc AM...