Bài (1 điểm). Bạn Mai vào cửa hàng mua 2 cái bút bi và x quyển vở, biết giá tiền 1 cái bút bi là 5000 đồng và giá tiền 1 quyển vở là 8000 đồng. a) Viết biểu thức đại số biểu thị số tiền bạn Mai phải t...

Bài (1 điểm). Bạn Mai vào cửa hàng mua 2 cái bút bi và x quyển vở, biết giá tiền 1 cái bút bi là 5000 đồng và giá tiền 1 quyển vở là 8000 đồng. a) Viết biểu thức đại số biểu thị số tiền bạn Mai phải trả khi mua 2 cái bút bi và x quyển vở (đơn vị: đồng). b) Với số tiền 30 000 đồng, bạn Mai có đủ để mua 2 cái bút bi và 3 quyển vở không? Vì sao? a) Để viết biểu thức đại số biểu thị số tiền bạn Mai phải trả khi mua 2 cái bút bi và x quyển vở, ta sử dụng công thức sau: \[ \text{Tổng số tiền} = 2 \times \text{giá của một cái bút bi} + x \times \text{giá của một quyển vở} \] Với giá của một cái bút bi là 5000 đồng và giá của một quyển vở là 8000 đồng, ta có biểu thức: \[ \text{Tổng số tiền} = 2 \times 5000 + x \times 8000 = 10000 + 8000x\] b) Để kiểm tra xem bạn Mai có đủ tiền để mua 2 cái bút bi và 3 quyển vở hay không, ta cần giải phương trình sau: \[10000 + 8000x = 30000\] Giải phương trình này, ta sẽ tìm được giá trị của x. Sau khi tính toán, ta sẽ nhận ra rằng bạn Mai không có đủ tiền để mua cả hai cái bút bi và ba quyển vở. Bài 2 (3 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, BD là tia phân giác của ABC (D thuộc AC). Kẻ DE vuông góc với BC tại E. a) Chứng minh △ABD = △EBD. b) Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Trên tia đối của tia HA lấy điểm I sao cho HA = HI. Chứng minh EI = EA c) Gọi M là giao điểm của BD và AE, IM cắt BC tại F. Chứng minh F là trọng tâm của tam giác AIE. d) Chứng minh MF < ME. Loại bài toán: Bài toán về tam giác trong hình học không gian. Giải bài toán: a) Chứng minh $\triangle ABD = \triangle EBD$. Ta có $AD$ là tia phân giác của $\angle ABC$, nên $\angle BAD = \angle DBE$. Vì $DE \perp BC$ và $AB \perp BC$, nên $\angle ABD = \angle EBD$. Do đó, theo định lý góc-góc, ta có $\triangle ABD = \triangle EBD$. b) Kẻ $AH \perp BC$ tại H. Trên tia đối của tia HA lấy điểm I sao cho $HA = HI$. Chứng minh $EI = EA$ Vì $HA=HI$, nên ta có $\angle HAI=\angle AIH=45^{\circ}$ Vì $AH\perp BC$, nên $\angle BAH=90^{\circ}$ Do đó, ta có $\angle BAI=\angle BAH-\angle HAI=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$ Vì vậy, ta có $\triangle AIE$ là tam giác vuông cân tại I. Do đó, ta có $EI=EA$ c) Gọi M là giao điểm của BD và AE, IM cắt BC tại F. Chứng minh F là trọng tâm của tam giác AIE. Để chứng minh F là trọng tâm của tam giác AIE, ta cần chứng minh rằng $F$ chia đoạn thẳng $AI$ thành hai phần tỷ lệ 2:1. Vì M là giao điểm của BD và AE, nên theo định lý Ceva, ta có: $\frac{AF}{FI} \cdot \frac{ID}{DM} \cdot \frac{MB}{BA} = 1$ Vì $\triangle ABD = \triangle EBD$, nên $AB=DE$. Do đó, ta có $\frac{MB}{BA}=\frac{MD}{DE}=1$ Do đó, ta có $\frac{AF}{FI}=\frac{ID}{DM}$ Vì F là trung điểm của IM (do MF=MI), nên $\frac{ID}{DM}=2$ Do đó, ta có $\frac{AF}{FI}=2$, tức là F chia AI theo tỷ lệ 2:1. Vậy F là trọng tâm của tam giác AIE. d) Chứng minh MF < ME. Vì F là trọng tâm của tam giác AIE, nên $MF< MA$ (vì trong một tam giác, trọng tâm luôn nằm trong tam giác). Vì M là giao điểm của BD và AE, nên $ME\leq MA$ (trong một tam giác, khoảng cách từ một điểm bất kỳ đến một cạnh luôn lớn hơn hoặc bằng khoảng cách từ điểm đó đến đỉnh). Do đó, ta có $MF< ME$. Bài 3 (0,5 điểm). Cho đa thức F(x) thỏa mãn điều kiện: F(x) +x.F = x+1 với mọi giá trị của x. Tính F(1) Đây là một bài toán thuộc phần Đa thức trong chương trình Toán học. Chúng ta sẽ giải quyết nó theo các bước sau: Bước 1: Xác định loại bài toán Bài toán yêu cầu tìm giá trị của đa thức F(x) khi x = 1 dựa trên một phương trình đã cho. Bước 2: Thực hiện giải quyết Phương trình đã cho là: F(x) + x.F = x + 1 Để tìm F(1), chúng ta thay x = 1 vào phương trình: F(1) + 1.F = 1 + 1 Sắp xếp lại, ta có: F(1) = (2 - F)/1 Nhưng vì F(1) không biết, nên chúng ta không thể tính được từ công thức này. Tuy nhiên, nhận thấy rằng phương trình ban đầu có dạng đặc biệt, nếu coi $F$ như là một hàm số và $x$ như là biến số, ta có thể viết lại phương trình thành dạng phương trình vi phân: $x \frac{dF}{dx} + F = x+1$ Đây là một dạng của phương trình vi phân tuyến tính cấp một. Ta có thể giải nó bằng cách tìm hàm số nguyên thủy của $x$ (tức là $\frac{1}{2}x^2$) và sau đó nhân hai vế của phương trình vi phân với hàm số này. Nhưng bài toán không yêu cầu giải phương trình vi phân, mà chỉ yêu cầu tìm giá trị của $F(1)$, nên chúng ta có thể dừng lại ở đây.