Cho tam giác ABC nhọn (AB

Question

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H.
a) Chứng minh: ΔFHB ∽ ΔEHC
b) Chứng minh: AF ⋅ AB = AE ⋅ AC
c) Đường thẳng qua B song song với EF cắt AC tại M. Gọi I là trung điểm của BM, D là giao điểm EI và BC. Chứng minh: 3 điểm A, H, D thẳng hàng

haizzzhaizzz · Accepted Answer

a) Xét tam giác FHB vuông tại F và tam giác EHC vuông tại E có $\displaystyle \widehat{FHB} =\widehat{EHC}$ nên tam giác FHB ~ tam giác EHC
b) Xét tam giác AFH vuông tại F và tam giác AGB vuông tại G có chung $\displaystyle \widehat{FAH}$ nên tam giác AFH ~ tam giác AGB nên AF.AB=AH.AG
Xét tam giác AEH vuông tại E và tam giác AGC vuông tại G có chung $\displaystyle \widehat{HAM}$ nên tam giác AEH ~ tam giác AGC nên AH.AG=AE.AC
Nên AE.AC=AF.AB=AH.AG

Timi · Answer

a) Ta có:
$$ \angle FHB = \angle EHC $$ (do cùng chứng minh)
$$ \angle HFB = \angle HEC $$ (do cùng nội tiếp trong các đường tròn BHEF và CHFE)
Do đó, theo góc - góc tương đồng, ta có: ΔFHB ∽ ΔEHC

b) Ta có:
$$ \frac{AF}{AE} = \frac{HF}{HE} $$ (do ΔFHB ∽ ΔEHC)
$$ AF \cdot HE = AE \cdot HF$$
Nhưng $HF = HB$ và $HE = HC$, do đó:
$$ AF \cdot HB = AE \cdot HC$$
$$ AF \cdot AB = AE \cdot AC$$

c) Gọi N là giao điểm của BM và AC. Ta có BN // EF.
Do đó, theo nguyên lý Euclid, ta có:
$$\frac{AM}{MC}=\frac{EN}{NF}$$
Vậy AM=MC.
Gọi I là trung điểm của BM, ta có BI=IM.
Ta lại có EI // BC (do BN // EF).
Vậy D là trung điểm của BC.
Khi đó, ta có AD là đường cao trong tam giác ABC.
Vậy 3 điểm A, H, D thẳng hàng.

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh: ΔFHB ∽ ΔEHC b) Chứng minh: AF ⋅ AB = AE ⋅ AC c) Đường thẳng qua B song song với EF cắt AC tại M. Gọi I là trung đi...