Cho Δ ABC nhọn (AB<AC). Các đường cao BN,CP cắt nhau tại H a) Chứng minh AN.AC=AP.AB b) Chứng minh ΔANP ~ ΔABC c) Gọi E,F là hình chiếu P,N trên BN,CP. Chứng minh EF// BC

a) Chứng minh AN.AC=AP.AB Xét ΔABC và ΔHAC, ta có: ∠ABC = ∠HAC (cùng phụ với ∠ACB) ∠BAC chung Do đó, ΔABC ~ ΔHAC (g.g) Suy ra: $$ => AN.AH = AC.AB (1) Xét ΔABH và ΔAPC, ta có: ∠ABH = ∠APC (cùng phụ với ∠BAC) ∠AHB = ∠APC (đối đỉnh) Do đó, ΔABH ~ ΔAPC (g.g) Suy ra: $$ => AP.AC = AB.AH (2) Từ (1) và (2), ta có: AN.AC = AP.AB (đpcm) b) Chứng minh ΔANP ~ ΔABC Từ câu a, ta có: $$ Mặt khác, ∠ANP = ∠ABC (cùng phụ với ∠ACB) Do đó, ΔANP ~ ΔABC (c.g.c) c) Gọi E,F là hình chiếu P,N trên BN,CP. Chứng minh EF// BC. Xét ΔBCP và ΔBNE, ta có: ∠BCP = ∠BNE (đối đỉnh) ∠CBP = ∠NBE (cùng phụ với ∠B) Do đó, ΔBCP ~ ΔBNE (g.g) Suy ra: $$ => BE.BP = BC.BN (3) Tương tự, xét ΔCAN và ΔCPE, ta có: ∠CAN = ∠CPE (đối đỉnh) ∠ACN = ∠CPE (cùng phụ với ∠C) Do đó, ΔCAN ~ ΔCPE (g.g) Suy ra: $$ => CE.CN = AC.CP (4) Từ (3) và (4), ta có: BE.BP = CE.CN => $$ => $$ => EF// BC (theo định lý Thales đảo) Vậy, EF// BC (đpcm). b) ΔANP ~ ΔABC c) EF// BC.