Giúp mình với ạ

b) Để giải phương trình $(\frac23)^{logx}=\frac94$, ta có thể đưa về cùng cơ số: $(\frac23)^{logx}=(\frac32)^{-2}$. Suy ra $logx=-2$. Giải phương trình này, ta được $x=(\frac23)^{-2}=\frac{9}{4}$. Vậy nghiệm của phương trình là $x=\frac{9}{4}$. Tuy nhiên, theo đề bài, $a$ cũng là nghiệm của phương trình này. Do đó, $a=\frac{9}{4}$. c) Để giải phương trình $a^2+a+1=2$, ta có thể trừ 2 vào cả hai vế: $a^2+a-1=0$. Phương trình này không có nghiệm đẹp, nên ta có thể dùng công thức nghiệm bậc hai: $a=\frac{-1\pm\sqrt{1^2-4*1*(-1)}}{2*1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$. Vậy có hai nghiệm $a_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ và $a_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$. Tuy nhiên, theo đề bài, $a$ cũng là nghiệm của phương trình này. Do đó, $a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$. d) Để giải phương trình $a=10^2$, ta có thể tính: $a=10^2=100$. Vậy nghiệm của phương trình là $a=100$. Tuy nhiên, theo đề bài, $a$ cũng là nghiệm của phương trình này. Do đó, $a=100$. Tóm lại, các giá trị của $a$ là: $a=\frac{9}{4}$, $a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$, $a=100$. Câu 24: a) Tính đạo hàm của hàm số $y = f(x) = \sin 2x$: \[y' = f'(x) = 2\cos 2x.\] Tính bình phương của $y$ và bình phương của $y'$: \[y^2 = (\sin 2x)^2 = \sin^2 2x,\] \[(y')^2 = (2\cos 2x)^2 = 4\cos^2 2x.\] Thay vào biểu thức $y^2 + (y')^2$: \[y^2 + (y')^2 = \sin^2 2x + 4\cos^2 2x.\] Theo công thức lượng giác, ta có: \[\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.\] Áp dụng vào biểu thức trên, ta được: \[y^2 + (y')^2 = 1 + 3\cos^2 2x \neq 4.\] Vậy mệnh đề a) là sai. b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f(x) = \sin 2x$: \[y'' = f''(x) = -4\sin 2x.\] Thay vào biểu thức $4y + y''$: \[4y + y'' = 4\sin 2x - 4\sin 2x = 0.\] Vậy mệnh đề b) là đúng. c) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f(x) = \sin 2x$: \[y'' = f''(x) = -4\sin 2x.\] Thay vào biểu thức $4y - y''$: \[4y - y'' = 4\sin 2x - (-4\sin 2x) = 8\sin 2x \neq 0.\] Vậy mệnh đề c) là sai. d) Tính $y = f(x) = \sin 2x$ và $y' = f'(x) = 2\cos 2x$: \[y = \sin 2x, \quad y' = 2\cos 2x.\] Xét biểu thức $y = y'\tan 2x$: \[\sin 2x = 2\cos 2x \cdot \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 2\sin 2x.\] Rõ ràng đây là một đẳng thức không đúng. Vậy mệnh đề d) là sai. Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Sai d) Sai Câu 25: Để tính giới hạn của hàm số $\lim\frac{3n^2-2n+5}{4n^2+7}$ khi $n$ tiến tới vô cùng, ta chia cả tử và mẫu của hàm số cho $n^2$. Ta có: $\lim\frac{3n^2-2n+5}{4n^2+7} = \lim\frac{3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^2}}{4 + \frac{7}{n^2}}.$ Khi $n$ tiến tới vô cùng, các số hạng $\frac{2}{n}$, $\frac{5}{n^2}$, và $\frac{7}{n^2}$ đều tiến tới $0$. Do đó, giới hạn của hàm số là: $\lim\frac{3 - \frac{2}{n} + \frac{5}{n^2}}{4 + \frac{7}{n^2}} = \frac{3}{4}.$ Vậy, $\lim\frac{3n^2-2n+5}{4n^2+7} = \frac{3}{4}$. Câu 26: Để tính giới hạn này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp. Ở tử số, $\sqrt{4x+5}-2x-3$, chúng ta nhân lượng liên hợp của $\sqrt{4x+5}$ là $\sqrt{4x+5}+2x+3$. Khi đó, tử số trở thành: \[(\sqrt{4x+5}-2x-3)(\sqrt{4x+5}+2x+3) = (4x+5) - (2x+3)^2 = 4x+5 - (4x^2+12x+9) = -4x^2-8x-4.\] Do đó, giới hạn trở thành: \[\lim_{x\rightarrow-1}\frac{-4x^2-8x-4}{(x+1)^2(4x+5+2x+3)}.\] Tại $x=-1$, tử số bằng $0$ và mẫu số bằng $0$. Đây là dạng vô định $0/0$, nên chúng ta có thể sử dụng quy tắc L'Hopital. Lấy đạo hàm của tử số và mẫu số: \[\frac{d}{dx}(-4x^2-8x-4) = -8x-8,\] \[\frac{d}{dx}((x+1)^2(4x+5+2x+3)) = 2(x+1)(4x+5+2x+3) + (x+1)^2(6).\] Tại $x=-1$, đạo hàm của tử số bằng $-8-8=-16$, đạo hàm của mẫu số bằng $0$. Do đó, giới hạn trở thành: \[\lim_{x\rightarrow-1}\frac{-16}{0}.\] Tuy nhiên, đây là dạng vô định vô định. Chúng ta cần phân tích lại mẫu số. \[(x+1)^2(4x+5+2x+3) = (x+1)^2(6x+8) = 6(x+1)^2(x+4).\] Tại $x=-1$, mẫu số bằng $0$, nên chúng ta có thể sử dụng quy tắc L'Hopital một lần nữa. Lấy đạo hàm của tử số và mẫu số: \[\frac{d}{dx}(-16) = 0,\] \[\frac{d}{dx}(6(x+1)^2(x+4)) = 6(2(x+1)(x+4) + (x+1)^2) = 6(x+1)(3x+5).\] Tại $x=-1$, đạo hàm của tử số bằng $0$, đạo hàm của mẫu số bằng $6(0)(3)=-18$. Do đó, giới hạn trở thành: \[\lim_{x\rightarrow-1}\frac{0}{-18} = 0.\] Vậy, $\lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt{4x+5}-2x-3}{(x+1)^2} = 0$. Câu 27: Để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=3$, giá trị của $f(3)$ phải bằng giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến tới $3$. Ta có: $f(3) = \frac{2a-1}{4}.$ Giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến tới $3$ là: $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x-2}-1}{x^2-5x+6}.$ Ta có: $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3),$ nên: $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x-2}-1}{x^2-5x+6} = \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x-2}-1}{(x-2)(x-3)}.$ Đặt $u = \sqrt{x-2}$, khi $x \to 3$, thì $u \to 1$. Do đó: $\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x-2}-1}{(x-2)(x-3)} = \lim_{u \to 1} \frac{u-1}{(u^2-1)(u+1)} = \lim_{u \to 1} \frac{1}{u+1} = \frac{1}{2}.$ Vậy để hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=3$, ta phải có: $\frac{2a-1}{4} = \frac{1}{2}.$ Giải phương trình này, ta được: $2a-1 = 2 \Rightarrow 2a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{2}.$ Vậy giá trị của tham số $a$ là $\frac{3}{2}$. Câu 28: Để hàm số liên tục tại $x=2$, giá trị của hàm số tại $x=2$ phải bằng giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới $2$. Ta có: $\lim_{x\to 2} f(x) = \lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2} (x+2) = 4.$ Và $f(2) = m^2 + 3m$. Để hàm số liên tục tại $x=2$, ta cần có: $f(2) = \lim_{x\to 2} f(x) \Rightarrow m^2 + 3m = 4.$ Giải phương trình $m^2 + 3m - 4 = 0$, ta được: $m = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4(-4)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 \pm 5}{2}.$ Ta tìm được hai giá trị của $m$ là $m = 1$ hoặc $m = -4$. Vậy để hàm số liên tục tại $x=2$, giá trị của $m$ phải là $1$ hoặc $-4$. Câu 29: Để hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb R$, nó phải liên tục tại $x=2$. Điều này có nghĩa là giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến tới $2$ phải bằng $f(2)$. Ta có: $f(2) = m^2 - 2.$ Mặt khác, $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2$ với $x \neq 2$. Do đó, $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4.$ Để $f(x)$ liên tục tại $x=2$, ta cần có $f(2) = \lim_{x \to 2} f(x)$, hay $m^2 - 2 = 4.$ Giải phương trình này, ta được: $m^2 = 6 \Rightarrow m = \pm \sqrt{6}.$ Vậy, giá trị của $m$ cần tìm là $m = \sqrt{6}$ hoặc $m = -\sqrt{6}$. Câu 30: Lập luận: Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ nên $AM$ vuông góc với $BC$. Vì $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ nên $SA$ vuông góc với $AM$. Suy ra $SAM$ là góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$. Theo giả thiết, góc $SAM = 60^0$. Vì tam giác $ABC$ vuông cân tại $C$ nên $AB = AC\sqrt{2}$. Theo giả thiết, $AB = 3\sqrt{6}$ nên $AC = \frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{3}$. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $C$ nên $AM = \frac{AB}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{3}$. Vì tam giác $SAM$ vuông tại $A$ nên $SA = AM.\tan{SAM} = 3\sqrt{3}.\tan{60^0} = 3\sqrt{3}.\sqrt{3} = 9$. Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ chính là độ dài đường cao $AH$ của tam giác $SAB$. Áp dụng công thức diện tích tam giác: $\frac{1}{2}.AB.AH = \frac{1}{2}.SA.AB$, ta có: $AH = \frac{SA.AB}{AB} = \frac{9.3\sqrt{6}}{3\sqrt{6}} = \frac{27\sqrt{6}}{3\sqrt{6}} = \frac{9}{2}$. Vậy khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$ bằng $\frac{9}{2}$. Câu 31: Đầu tiên, chúng ta cần đưa phương trình về dạng cơ bản. Ta có $8 = 2^3$, nên phương trình có thể viết lại thành: \[2^{x^2-2x} = 2^3.\] Vì cơ số 2 ở hai vế bằng nhau, nên ta có thể bỏ qua và giữ lại phần mũ: \[x^2 - 2x = 3.\] Đây là một phương trình bậc hai, và ta có thể giải nó bằng cách đưa về dạng chuẩn: \[x^2 - 2x - 3 = 0.\] Bây giờ, ta có thể sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\] trong đó $a = 1$, $b = -2$, và $c = -3$. Thay các giá trị vào công thức, ta được: \[x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4*1*(-3)}}{2*1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}.\] Từ đó, ta tìm được hai nghiệm: $x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3$ và $x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1$. Vậy, $P = x_1 + x_2 = 3 + (-1) = 2$. Câu 32: Theo tính chất của xác suất, nếu hai sự kiện là độc lập, thì xác suất của cả hai sự kiện xảy ra là tích của xác suất của mỗi sự kiện. Trong trường hợp này, hai sự kiện là người thứ nhất bắn trúng và người thứ hai bắn trúng là độc lập, vì vậy xác suất cả hai người bắn trúng mục tiêu là tích của xác suất bắn trúng mục tiêu của người thứ nhất và xác suất bắn trúng mục tiêu của người thứ hai. Xác suất cả hai người bắn trúng mục tiêu là: 0,7 * 0,8 = 0,56 Câu 33: Để tìm vận tốc của vật tại thời điểm $t=6s$, ta cần tính đạo hàm của hàm số $S(t)$ theo biến $t$. Đạo hàm của hàm số $S(t)=4,9t^2$ là: $S'(t) = 2*4,9t = 9,8t$. Tại thời điểm $t=6s$, vận tốc của vật là: $S'(6) = 9,8*6 = 58,8$. Vậy vận tốc của vật tại thời điểm $t=6s$ là $58,8 m/s$.