cho parabol : y=2x² và đường thẳng : y=4x+m . Số giá trị của m để đường thẳng cắt parabol tại A và B và cắt trục tung tại M sao cho MB =3MA.

Question

Accepted Answer

Xét phương trình hoành độ giao điểm
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
2x^{2} \ =\ 4x\ +\ m\
\Leftrightarrow \ 2x^{2} \ -\ 4x\ -\ m\ =\ 0\ ( 1)
\end{array}$
Vì (d) cắt (P) tại 2 điểm A và B
⟹ pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
⟹ $\displaystyle \vartriangle '\ >\ 0$
⟹ $\displaystyle 2^{2} \ +\ 2m\ >\ 0$
⟹ $\displaystyle m\ >\ -2$
Theo Viet, ta có $\displaystyle \begin{cases}
x_{1} \ +\ x_{2} \ =\ 2\
x_{1} x_{2} \ =\ \frac{-m}{2}
\end{cases}$
Theo giả thiết d cắt trục tung tại M sao cho MA=3MB
$\displaystyle \Leftrightarrow \ |x_{2} |=3|x_{1} |\Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{l l}
x_{2} \ =\ 3x_{1}\
x_{2} \ =\ -3x_{1}
\end{array} ight.$
Với $\displaystyle x_{2} \ =\ 3x_{1}$ ⟹ $\displaystyle 3x_{1} \ +\ x_{1} \ =\ 2\ $⟹ $\displaystyle x_{1} \ =\ \frac{1}{2}$ ⟹ $\displaystyle x_{2} \ =\ \frac{3}{2}$ ⟹ $\displaystyle m\ =\ -\frac{3}{2} \ ( tm)$
Với $\displaystyle x_{2} \ =\ -3x_{1}$ ⟹ $\displaystyle -3x_{1} \ +\ x_{1} \ =\ 2\ $⟹ $\displaystyle x_{1} \ =\ -1$ ⟹ $\displaystyle x_{2} \ =\ 3$ ⟹ $\displaystyle m\ =\ 6\ ( tm)$
Vậy $\displaystyle m\ =\ \frac{-3}{2}$ và $\displaystyle m\ =\ 6$
⟹ Số giá trị của m tm là 2