cho parabol : y=2x² và đường thẳng : y=4x+m . Số giá trị của m để đường thẳng cắt parabol tại A và B và cắt trục tung tại M sao cho MB =3MA.

Question

ha-linhdinh4 · Accepted Answer

Xét phương trình hoành độ giao điểm
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
2x^{2} \ =\ 4x\ +\ m\
\Leftrightarrow \ 2x^{2} \ -\ 4x\ -\ m\ =\ 0\ ( 1)
\end{array}$
Vì (d) cắt (P) tại 2 điểm A và B
⟹ pt (1) có 2 nghiệm phân biệt
⟹ $\displaystyle \vartriangle '\ >\ 0$
⟹ $\displaystyle 2^{2} \ +\ 2m\ >\ 0$
⟹ $\displaystyle m\ >\ -2$
Theo Viet, ta có $\displaystyle \begin{cases}
x_{1} \ +\ x_{2} \ =\ 2\
x_{1} x_{2} \ =\ \frac{-m}{2}
\end{cases}$
Theo giả thiết d cắt trục tung tại M sao cho MA=3MB
$\displaystyle \Leftrightarrow \ |x_{2} |=3|x_{1} |\Leftrightarrow \ \left[ \begin{array}{l l}
x_{2} \ =\ 3x_{1}\
x_{2} \ =\ -3x_{1}
\end{array} ight.$
Với $\displaystyle x_{2} \ =\ 3x_{1}$ ⟹ $\displaystyle 3x_{1} \ +\ x_{1} \ =\ 2\ $⟹ $\displaystyle x_{1} \ =\ \frac{1}{2}$ ⟹ $\displaystyle x_{2} \ =\ \frac{3}{2}$ ⟹ $\displaystyle m\ =\ -\frac{3}{2} \ ( tm)$
Với $\displaystyle x_{2} \ =\ -3x_{1}$ ⟹ $\displaystyle -3x_{1} \ +\ x_{1} \ =\ 2\ $⟹ $\displaystyle x_{1} \ =\ -1$ ⟹ $\displaystyle x_{2} \ =\ 3$ ⟹ $\displaystyle m\ =\ 6\ ( tm)$
Vậy $\displaystyle m\ =\ \frac{-3}{2}$ và $\displaystyle m\ =\ 6$
⟹ Số giá trị của m tm là 2

Timi · Answer

Để tìm giao điểm của parabol và đường thẳng, ta giải phương trình:
$$2x^2 = 4x + m \Rightarrow 2x^2 - 4x - m = 0.$$
Đường thẳng cắt trục tung tại M khi x = 0, suy ra M(0, m).
Gọi A và B là giao điểm của parabol và đường thẳng, ta có A(x_1, 2x_1^2) và B(x_2, 2x_2^2).
Theo định lý Vi-et, ta có:
$$x_1 + x_2 = \frac{4}{2} = 2,$$
$$x_1x_2 = -\frac{m}{2}.$$
Ta có:
$$MB = (0, m) - (x_2, 2x_2^2) = (0 - x_2, m - 2x_2^2),$$
$$MA = (0 - x_1, m - 2x_1^2).$$
Theo giả thiết, MB = 3MA, suy ra:
$$0 - x_2 = 3(0 - x_1) \Rightarrow x_2 = 3x_1,$$
$$m - 2x_2^2 = 3(m - 2x_1^2).$$
Thay x_2 = 3x_1 vào phương trình x_1 + x_2 = 2, ta được:
$$x_1 + 3x_1 = 2 \Rightarrow 4x_1 = 2 \Rightarrow x_1 = \frac{1}{2}.$$
Suy ra x_2 = 3x_1 = 3/2.
Thay x_1 = 1/2 và x_2 = 3/2 vào phương trình x_1x_2 = -m/2, ta được:
$$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = -\frac{m}{2} \Rightarrow \frac{3}{4} = -\frac{m}{2} \Rightarrow m = -\frac{3}{2}.$$
Vậy có một giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán, đó là m = -3/2.