Cho tam giác ABC có ba góc nhọn đường cao AD, BE,CF cắt nhau tại H . a ,chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b, chứng minh AE.BF/DE.EF=FD/CD Giúp mình với!

Quang Trung

a, Để chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC, ta cần chứng minh hai tam giác này có cùng tỉ số đồng dạng.

Ta có:,- Trong tam giác ABC và tam giác AEF, ta có:,Góc AEF = Góc ABC (do cùng là góc nhọn, nằm trên cùng đường cao AH),Góc AFE = Góc ACB (do cùng là góc nhọn, nằm trên cùng đường cao BH),Và một góc nữa là góc EAF = góc BAC (do cùng là góc nhọn)

Do đó, theo định lý đồng dạng tam giác, ta có tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC.

b, Để chứng minh AE.BF/DE.EF=FD/CD, ta sẽ sử dụng định lý Ceva trong tam giác ABC.

Theo định lý Ceva, ta có:,AE/EC * CF/BD * BD/AF = 1

Từ đó, suy ra:,AE/EC * CF/BD = AF/BD

Nhân cả hai vế cho EF, ta có:,AE/EC * CF/BD * EF = AF/BD * EF

Tương tự, trong tam giác ADF, ta có:,FD/CD * CE/EA * EA/DF = 1

Từ đó, suy ra:,FD/CD * CE/EA = DF/EA

Nhân cả hai vế cho EF, ta có:,FD/CD * CE/EA * EF = DF/EA * EF

So sánh hai biểu thức ta thấy:,AE/EC * CF/BD * EF = FD/CD * CE/EA * EF

Do đó:,AE.BF/DE.EF = FD/CD

Vậy ta đã chứng minh được bài toán.