*Cho tam giác nhọn ABC AB

Question

*Cho tam giác nhọn ABC AB<AC. Các đường cao AD BE CF cắt nhau tại H, AH cắt EF tại điểm K. Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC, AH. 
a) Chứng minh: Góc MEI=90 độ. 
b) Chứng minh: Tam giác KIE đồng dạng tam  EID.
c) Chứng minh: K là trực tâm của tam giác IBC.

Tài khoản ẩn danh · Accepted Answer

{"userId":5075751,"userName":"Lê Đức Minh"} Để chứng minh các yêu cầu của bạn, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác, đường trung bình và đường cao. Dưới đây là các bước chứng minh:

a) Chứng minh góc MEI = 90 độ:

Sử dụng tính chất đường trung bình trong tam giác (đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác sẽ song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó), ta có ( ME ) và ( MI ) lần lượt là đường trung bình của các tam giác ( ABE ) và ( ABC ), suy ra ( ME \parallel AB ) và ( MI \parallel AH ).

Vì ( AB \perp BE ) và ( AH \perp BC ), từ tính chất hai đường thẳng song song, ta có ( ME \perp BE ) và ( MI \perp BC ).

Do đó, ( EMI ) là tam giác vuông tại ( E ).

b) Chứng minh tam giác KIE đồng dạng với tam giác EID:

Ta có ( AH \perp BC ) tại ( H ) và ( BE \perp AC ) tại ( E ), suy ra góc ( AHE = ABE = 90^\circ ).

Gọi giao điểm của ( AH ) và ( BC ) là ( N ), ta có ( ANHE ) là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông), suy ra ( AN = HE = EI ) (vì trong hình chữ nhật, các cạnh đối diện bằng nhau).

Tương tự, ta có góc ( KHI = KFI = 90^\circ ).

Do đó, ta có hai cặp góc vuông tương ứng và một cặp góc nhọn tương ứng giữa hai tam giác (( KIE ) và ( EID )), suy ra hai tam giác này đồng dạng theo trường hợp góc-góc.

c) Chứng minh K là trực tâm của tam giác:

Để chứng minh điều này, ta cần chỉ ra rằng các đường cao của tam giác mới tạo bởi các điểm K, I, E và D cắt nhau tại một điểm.

Vì đã chứng minh được hai tam giác KIE và EID đồng dạng, ta biết rằng các đường cao tương ứng cũng sẽ tỉ lệ.

Ta đã biết rằng AH là đường cao của tam giác ABC, do đó nếu chứng minh được KH là đường cao của tam giác KBC thì ta có thể kết luận rằng K là trực tâm của tam giác KBC.

Bạn có thể tiếp tục từ các bước này để hoàn thiện lời giải. Nếu bạn cần thêm sự hỗ trợ hoặc giải thích chi tiết hơn cho từng phần, hãy cho tôi biết!

Timi · Answer

a) Chứng minh: Góc MEI=90 độ.

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn nên góc BAC nhọn. Từ đó suy ra góc BAD nhọn (vì AD là đường cao của tam giác ABC). Tương tự, góc CAD nhọn.

Vì M là trung điểm của BC nên tam giác MBC cân tại M. Từ đó suy ra góc MBC = góc MCB.

Vì I là trung điểm của AH nên tam giác IAH cân tại I. Từ đó suy ra góc IAH = góc IHA.

Ta có: góc MEI = góc MBC + góc IAH.

Vì góc MBC = góc MCB và góc IAH = góc IHA nên góc MEI = góc MCB + góc IHA.

Mặt khác, góc MCB + góc IHA = 180 độ - (góc BAC + góc BAD + góc CAD) = 180 độ - (góc BAC + 2*góc BAD) = 180 độ - (góc BAC + 2*(180 độ - góc BAC)/2) = 180 độ - (góc BAC + 180 độ - góc BAC) = 90 độ.

Vậy góc MEI = 90 độ.

b) Chứng minh: Tam giác KIE đồng dạng tam EID.

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn nên góc BAC nhọn. Từ đó suy ra góc BAD nhọn (vì AD là đường cao của tam giác ABC). Tương tự, góc CAD nhọn.

Vì M là trung điểm của BC nên tam giác MBC cân tại M. Từ đó suy ra góc MBC = góc MCB.

Vì I là trung điểm của AH nên tam giác IAH cân tại I. Từ đó suy ra góc IAH = góc IHA.

Ta có: góc MEI = góc MBC + góc IAH.

Vì góc MBC = góc MCB và góc IAH = góc IHA nên góc MEI = góc MCB + góc IHA.

Mặt khác, góc MCB + góc IHA = 180 độ - (góc BAC + góc BAD + góc CAD) = 180 độ - (góc BAC + 2*góc BAD) = 180 độ - (góc BAC + 2*(180 độ - góc BAC)/2) = 180 độ - (góc BAC + 180 độ - góc BAC) = 90 độ.

Vậy góc MEI = 90 độ.

Vì góc MEI = 90 độ nên góc KIE = góc EID (vì cùng phụ với góc MEI).

Vì góc KIE = góc EID nên tam giác KIE đồng dạng tam EID (theo trường hợp góc-góc).

c) Chứng minh: K là trực tâm của tam giác IBC.

Vì tam giác ABC là tam giác nhọn nên góc BAC nhọn. Từ đó suy ra góc BAD nhọn (vì AD là đường cao của tam giác ABC). Tương tự, góc CAD nhọn.

Vì M là trung điểm của BC nên tam giác MBC cân tại M. Từ đó suy ra góc MBC = góc MCB.

Vì I là trung điểm của AH nên tam giác IAH cân tại I. Từ đó suy ra góc IAH = góc IHA.

Ta có: góc MEI = góc MBC + góc IAH.

Vì góc MBC = góc MCB và góc IAH = góc IHA nên góc MEI = góc MCB + góc IHA.

Mặt khác, góc MCB + góc IHA = 180 độ - (góc BAC + góc BAD + góc CAD) = 180 độ - (góc BAC + 2*góc BAD) = 180 độ - (góc BAC + 2*(180 độ - góc BAC)/2) = 180 độ - (góc BAC + 180 độ - góc BAC) = 90 độ.

Vậy góc MEI = 90 độ.

Vì góc MEI = 90 độ nên góc KIE = góc EID (vì cùng phụ với góc MEI).

Vì góc KIE = góc EID nên tam giác KIE đồng dạng tam EID (theo trường hợp góc-góc).

Vì tam giác KIE đồng dạng tam EID nên góc KIE = góc IDE (theo tính chất của tam giác đồng dạng).

Vì góc KIE = góc IDE nên KI vuông góc với BC (theo định nghĩa của trực tâm).

Vậy K là trực tâm của tam giác IBC.

*Cho tam giác nhọn ABC AB<AC. Các đường cao AD BE CF cắt nhau tại H, AH cắt EF tại điểm K. Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC, AH. a) Chứng minh: Góc MEI=90 độ. b) Chứng minh: Tam giác KIE đồng d...