phương pháp tìm GTLN VÀ GTNN trong phân thức bằng cách dùng delta 5 sao nhé

Để tìm GTLN và GTNN của một phân thức, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm. Tuy nhiên, đây là một phương pháp khá phức tạp và chỉ nên sử dụng khi cần thiết. Trong nhiều trường hợp, chúng ta có thể tìm GTLN và GTNN bằng cách sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai và bất đẳng thức Cauchy. Giả sử chúng ta cần tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x) = \frac{ax^2 + bx + c}{dx^2 + ex + f}$. Để làm điều này, chúng ta có thể làm như sau: 1. Tìm nghiệm của tam thức bậc hai ở mẫu số: $dx^2 + ex + f = 0$. Giả sử nghiệm của nó là $x_1$ và $x_2$. 2. Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm này: $f(x_1)$ và $f(x_2)$. 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 (nếu có). 4. So sánh các giá trị tìm được ở bước 2 và bước 3, chọn ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Ví dụ: Tìm GTLN và GTNN của hàm số $f(x) = \frac{x^2 + 2x + 3}{x^2 + 1}$. 1. Tìm nghiệm của mẫu số: $x^2 + 1 = 0$. Phương trình này vô nghiệm vì $x^2$ luôn dương. 2. Tính giá trị của hàm số tại các nghiệm của mẫu số: Không có. 3. Tính giá trị của hàm số tại các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0: Đạo hàm của hàm số là: $f'(x) = \frac{(2x + 2)(x^2 + 1) - (x^2 + 2x + 3)(2x)}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-2x^2 + 2}{(x^2 + 1)^2}$. $f'(x) = 0$ khi $-2x^2 + 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. Tính giá trị của hàm số tại $x = 1$ và $x = -1$: $f(1) = \frac{1^2 + 2*1 + 3}{1^2 + 1} = \frac{6}{2} = 3$, $f(-1) = \frac{(-1)^2 + 2*(-1) + 3}{(-1)^2 + 1} = \frac{2}{2} = 1$. 4. So sánh các giá trị tìm được ở bước 2 và bước 3, chọn ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: Giá trị lớn nhất là $3$, giá trị nhỏ nhất là $1$. Vậy GTLN của hàm số là $3$, GTNN của hàm số là $1$.