tìm x biết 1³+2³+3³+...+10³=(x+1)²
(tại sao lại biến đổi từ 1³+2³+3³+...+10³ = (1+2+3+...+10)² được vậy )

Question

tue-lamtran7 · Accepted Answer

Chứng minh: $\displaystyle 1^{3} +2^{3} +3^{3} +...+n^{3} =\frac{n^{2}( n+1)^{2}}{4}$

*Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1, vế phải của (1) = 1.

Suy ra (1) đúng với n = 1.

*Giả sử (1) đúng với n = k.

Có nghĩa là ta có:
$\displaystyle 1^{3} +2^{3} +3^{3} +...+k^{3} =\frac{k^{2}( k+1)^{2}}{4} \ ( 2)$
Ta phải chứng minh (1) đúng với n=k+1
Có nghĩa ta phải chứng minh:
$\displaystyle 1^{3} +2^{3} +3^{3} +...+k^{3} +( k+1)^{3} =\frac{( k+1)^{2}( k+2)^{2}}{4}$
Thật vậy:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
1^{3} +2^{3} +3^{3} +...+k^{3} +( k+1)^{3}\
=\frac{k^{2}( k+1)^{2}}{4} +( k+1)^{3}\
=\frac{( k+1)^{2}\left( k^{2} +4k+4 ight)}{4} =\frac{( k+1)^{2}( k+2)^{2}}{4}
\end{array}$
Vậy (1) đúng khi n=k+1
Do đó theo nguyên lí quy nạp, (1) đúng với mọi số nguyên dương n.
Áp dụng vào bài toán ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
1^{3} +2^{3} +3^{3} +...+10^{3} =( x+1)^{2}\
\Longrightarrow \frac{10^{2}( 10+1)^{2}}{4} =( x+1)^{2}\
\Longrightarrow ( x+1)^{2} =3025\
\Longrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
x+1=55 & \
x+1=-55 &
\end{array} ight. \Longrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
x=54 & \
x=-56 &
\end{array} ight.
\end{array}$

Timi · Answer

Theo công thức tổng các lập phương, ta có:

$1³+2³+3³+...+10³ = (1+2+3+...+10)²$

Theo công thức tổng các số tự nhiên liên tiếp, ta có:

$1+2+3+...+10 = \frac{10(10+1)}{2} = 55$

Thay vào phương trình ban đầu, ta có:

$1³+2³+3³+...+10³ = 55²$

Vậy, phương trình đã cho trở thành:

$55² = (x+1)²$

Lấy căn bậc hai cả hai vế, ta có:

$55 = x+1$

Từ đó, ta tìm được:

$x = 55 - 1 = 54$

Vậy, giá trị của $x$ là $54$.

Anh Kiệt · Answer

{"userId":5284133,"userName":"nhhsgch"} Đây là một tính chất thú vị của số học: tổng các lập phương của n số tự nhiên đầu tiên bằng bình phương của tổng n số đó. Công thức tổng quát là:

13+23+33+...+n3=(1+2+3+...+n)2

Tổng của n số tự nhiên đầu tiên có thể được tính bằng công thức:

1+2+3+...+n=2n(n+1)

Khi áp dụng công thức này cho trường hợp của bạn (n=10), ta có:

1+2+3+...+10=210(10+1)=210×11=55

Bình phương của tổng này sẽ là:

(1+2+3+...+10)2=552=3025

Vậy, ta có thể kết luận rằng:

13+23+33+...+103=(1+2+3+...+10)2=3025

Do đó, giá trị của x trong phương trình ban đầu là:

(x+1)2=3025

x+1=3025

x+1=55

x=55−1

x=54

Vậy giá trị của x là 54.

tìm x biết 1³+2³+3³+...+10³=(x+1)² (tại sao lại biến đổi từ 1³+2³+3³+...+10³ = (1+2+3+...+10)² được vậy )