Phân tính đa thức thành nhân tử: 4(x^2+11x+30)(4x^2+22x+120)-23x^2

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng biểu thức $4(x^2+11x+30)(4x^2+22x+120)-23x^2$ có thể được viết lại như sau: $4(x^2+11x+30)(4x^2+22x+120)-23x^2 = 4[(x^2+11x+30)(4x^2+22x+120)] - 23x^2.$ Bây giờ, ta nhận thấy rằng $(x^2+11x+30)$ và $(4x^2+22x+120)$ là hai đa thức có hệ số bậc cao nhất là bằng nhau (đều bằng 4) và có hệ số bậc thấp nhất cũng bằng nhau (đều bằng 120). Ngoài ra, tích của chúng cũng bằng $(x^2+11x+30)(4x^2+22x+120) = 4(x^2+5x+6)(x^2+11x+20)$. Do đó, biểu thức $4(x^2+11x+30)(4x^2+22x+120)-23x^2$ có thể được viết lại thành: $4[(x^2+5x+6)(x^2+11x+20)] - 23x^2.$ Tiếp theo, ta nhận thấy rằng $(x^2+5x+6)(x^2+11x+20)$ có thể được viết lại thành $(x^2+6x+5x+6)(x^2+10x+x+20)$ và tiếp tục phân tích thành $(x(x+6)+1(5x+6))(x(x+10)+1(x+20))$. Sử dụng tính chất phân phối, ta có: $(x(x+6)+1(5x+6))(x(x+10)+1(x+20)) = (x^2+6x+5x+6)(x^2+10x+x+20) = (x^2+11x+6)(x^2+11x+20).$ Do đó, biểu thức $4[(x^2+5x+6)(x^2+11x+20)] - 23x^2$ có thể được viết lại thành: $4[(x^2+11x+6)(x^2+11x+20)] - 23x^2.$ Bây giờ, ta nhận thấy rằng $(x^2+11x+6)$ và $(x^2+11x+20)$ là hai đa thức có hệ số bậc cao nhất bằng nhau (đều bằng 1) và có hệ số bậc thấp nhất cũng bằng nhau (đều bằng 26). Ngoài ra, tích của chúng cũng bằng $(x^2+11x+6)(x^2+11x+20) = (x^2+11x+6)^2$. Do đó, biểu thức $4[(x^2+11x+6)(x^2+11x+20)] - 23x^2$ có thể được viết lại thành: $4(x^2+11x+6)^2 - 23x^2.$ Cuối cùng, ta nhận thấy rằng $(x^2+11x+6)^2 - \frac{23}{4}x^2$ có thể được viết lại thành $(x^2+11x+6)^2 - (\sqrt{\frac{23}{4}}x)^2$. Sử dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, ta có: $(x^2+11x+6)^2 - (\sqrt{\frac{23}{4}}x)^2 = [(x^2+11x+6) - \sqrt{\frac{23}{4}}x][(x^2+11x+6) + \sqrt{\frac{23}{4}}x].$ Sử dụng tính chất phân phối, ta có: $[(x^2+11x+6) - \sqrt{\frac{23}{4}}x][(x^2+11x+6) + \sqrt{\frac{23}{4}}x] = [(x^2+(11-\sqrt{\frac{23}{4}})x+6][(x^2+(11+\sqrt{\frac{23}{4}})x+6].$ Vậy, biểu thức $4(x^2+11x+30)(4x^2+22x+120)-23x^2$ được phân tích thành nhân tử là: $[(x^2+(11-\sqrt{\frac{23}{4}})x+6][(x^2+(11+\sqrt{\frac{23}{4}})x+6].$