giải chi tiết

Câu 18. Đồ thị hàm số $y=\frac{x+m}{x+n}$ tiếp xúc với đường thẳng $y=-2x+7$ tại điểm $A(2;3)$ nên tọa độ điểm $A$ phải thỏa mãn cả hai hàm số. Thay $x=2$ và $y=3$ vào phương trình hàm số $y=\frac{x+m}{x+n}$, ta được: $3=\frac{2+m}{2+n}.$ Nhân hai vế với $2+n$, ta được: $3(2+n)=2+m.$ $6+3n=2+m.$ $m=3n+4.$ Tiếp theo, thay $x=2$ và $y=3$ vào phương trình đường thẳng $y=-2x+7$, ta được: $3=-2.2+7.$ $3=-4+7.$ $3=3.$ Vậy điểm $A(2;3)$ thỏa mãn cả hai hàm số. Tiếp theo, ta cần tìm điều kiện để đồ thị hàm số $y=\frac{x+m}{x+n}$ tiếp xúc với đường thẳng $y=-2x+7$. Hai đồ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình: $\begin{cases} y=\frac{x+m}{x+n} \\ y=-2x+7 \end{cases}$ có nghiệm duy nhất. Thay $y=-2x+7$ vào phương trình $y=\frac{x+m}{x+n}$, ta được: $-2x+7=\frac{x+m}{x+n}.$ $-2x+7=\frac{x+m}{x+n}.$ $-2x+7=\frac{x+3n+4}{x+n}.$ $-2x+7=\frac{x+3n+4}{x+n}.$ $-2x+7=\frac{(x+3n+4)(x+n)}{x+n}.$ $-2x+7=x+3n+4.$ $-2x+7-x-3n-4=0.$ $-3x-3n+3=0.$ $-3(x+n-1)=0.$ $x+n-1=0.$ $x=-n+1.$ Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{x+m}{x+n}$ tiếp xúc với đường thẳng $y=-2x+7$ khi và chỉ khi $x=-n+1$. Thay $x=2$ vào $x=-n+1$, ta được: $2=-n+1.$ $n=1.$ Thay $n=1$ vào $m=3n+4$, ta được: $m=3.1+4=7.$ Vậy $m=7$ và $n=1$. Đáp án: B.