Giúp em với ạ

Câu 49: Để tìm giá trị cực đại của hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x + 2) = 3x^2 - 3 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 3 = 0 \] \[ 3(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 3. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách sử dụng đạo hàm bậc hai hoặc kiểm tra dấu của đạo hàm bậc nhất: - Phương pháp sử dụng đạo hàm bậc hai: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 3) = 6x \] - Tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = 6 \cdot 1 = 6 > 0 \quad \text{(hàm số có điểm cực tiểu tại \( x = 1 \))} \] - Tại \( x = -1 \): \[ y''(-1) = 6 \cdot (-1) = -6 < 0 \quad \text{(hàm số có điểm cực đại tại \( x = -1 \))} \] 4. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực đại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 2 = -1 + 3 + 2 = 4 \] Do đó, giá trị cực đại của hàm số \( y = x^3 - 3x + 2 \) là \( 4 \), đạt được khi \( x = -1 \). Đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~y_n=4} \] Câu 50: Để tìm các điểm cực trị của hàm số \( y = \frac{2x + 3}{x + 1} \), chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số \( y = \frac{2x + 3}{x + 1} \) là một hàm phân thức. Để tìm đạo hàm, chúng ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của hàm phân thức: \[ y' = \frac{(2)(x + 1) - (2x + 3)(1)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x + 2 - 2x - 3}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{-1}{(x + 1)^2} \] 2. Xác định các điểm mà đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định: Đạo hàm \( y' = \frac{-1}{(x + 1)^2} \) không bao giờ bằng 0 vì tử số luôn là -1. Tuy nhiên, đạo hàm không xác định khi mẫu số bằng 0: \[ (x + 1)^2 = 0 \] \[ x + 1 = 0 \] \[ x = -1 \] 3. Kiểm tra tính chất của hàm số tại các điểm này: - Tại \( x = -1 \), hàm số không xác định vì mẫu số bằng 0. - Đạo hàm \( y' = \frac{-1}{(x + 1)^2} \) luôn âm (nhỏ hơn 0) khi \( x \neq -1 \). Điều này có nghĩa là hàm số luôn giảm trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (-1, \infty) \). 4. Kết luận: Vì đạo hàm luôn âm (hàm số luôn giảm) trên các khoảng xác định và không có điểm nào mà đạo hàm bằng 0, hàm số \( y = \frac{2x + 3}{x + 1} \) không có điểm cực trị. Do đó, số điểm cực trị của hàm số là 0. Đáp án: C. 0 Câu 51: Để tìm cực tiểu của hàm số \( y = \frac{x^2 + 3}{x + 1} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{x^2 + 3}{x + 1} \] Áp dụng công thức đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(x^2 + 3)'(x + 1) - (x^2 + 3)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (x^2 + 3)' = 2x \quad \text{và} \quad (x + 1)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{2x(x + 1) - (x^2 + 3)}{(x + 1)^2} \] Rút gọn tử số: \[ y' = \frac{2x^2 + 2x - x^2 - 3}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} = 0 \] Điều này xảy ra khi tử số bằng 0: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x + 3)(x - 1) = 0 \] Nên: \[ x = -3 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] 3. Kiểm tra dấu của đạo hàm để xác định cực tiểu: - Xét khoảng \( (-\infty, -1) \): Chọn \( x = -2 \): \[ y'(-2) = \frac{(-2)^2 + 2(-2) - 3}{(-2 + 1)^2} = \frac{4 - 4 - 3}{1} = -3 < 0 \] - Xét khoảng \( (-1, 1) \): Chọn \( x = 0 \): \[ y'(0) = \frac{0^2 + 2(0) - 3}{(0 + 1)^2} = \frac{-3}{1} = -3 < 0 \] - Xét khoảng \( (1, \infty) \): Chọn \( x = 2 \): \[ y'(2) = \frac{2^2 + 2(2) - 3}{(2 + 1)^2} = \frac{4 + 4 - 3}{9} = \frac{5}{9} > 0 \] Từ đó, ta thấy rằng tại \( x = 1 \), đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương, tức là hàm số có cực tiểu tại \( x = 1 \). 4. Tính giá trị của hàm số tại \( x = 1 \): \[ y(1) = \frac{1^2 + 3}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2 \] Vậy, cực tiểu của hàm số là 2. Đáp án: D. Cực tiểu của hàm số bằng 2. Câu 52: Để tìm điểm cực đại của đồ thị hàm số \( y = x^3 - 6x^2 + 9 \), ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính đạo hàm của hàm số: Đạo hàm của hàm số \( y = x^3 - 6x^2 + 9 \) là: \[ y' = 3x^2 - 12x \] 2. Tìm các điểm cực trị: Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 12x = 0 \] \[ 3x(x - 4) = 0 \] Phương trình này có hai nghiệm: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 4 \] 3. Xét dấu đạo hàm để xác định cực đại, cực tiểu: - Xét dấu của \( y' \) trên các khoảng: - Khi \( x < 0 \), \( y' = 3x(x - 4) > 0 \). - Khi \( 0 < x < 4 \), \( y' = 3x(x - 4) < 0 \). - Khi \( x > 4 \), \( y' = 3x(x - 4) > 0 \). Từ đó, ta thấy: - \( x = 0 \) là điểm cực đại vì \( y' \) đổi dấu từ dương sang âm. - \( x = 4 \) là điểm cực tiểu vì \( y' \) đổi dấu từ âm sang dương. 4. Tính giá trị tại điểm cực đại: Tại \( x = 0 \), giá trị của hàm số là: \[ y = 0^3 - 6 \times 0^2 + 9 = 9 \] 5. Tính tổng hoành độ và tung độ của điểm cực đại: Điểm cực đại có tọa độ \( (0, 9) \). Tổng hoành độ và tung độ là: \[ 0 + 9 = 9 \] Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tổng hoành độ và tung độ bằng một trong các giá trị A, B, C, D. Có thể có sự nhầm lẫn trong đề bài hoặc cần kiểm tra lại các giá trị cho trước. Theo cách giải trên, tổng hoành độ và tung độ của điểm cực đại là 9, không khớp với các lựa chọn A, B, C, D. Câu 53: Hàm số đã cho là một đa thức bậc hai có dạng \( y = -x^2 + 3x - 4 \). Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số này, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^2 + 3x - 4) = -2x + 3 \] Bước 2: Tìm giá trị của \( x \) sao cho đạo hàm bằng 0: \[ -2x + 3 = 0 \] \[ -2x = -3 \] \[ x = \frac{3}{2} \] Bước 3: Thay giá trị \( x = \frac{3}{2} \) vào hàm số để tìm giá trị cực tiểu: \[ y = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3\left(\frac{3}{2}\right) - 4 \] \[ y = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} - 4 \] \[ y = -\frac{9}{4} + \frac{18}{4} - \frac{16}{4} \] \[ y = \frac{-9 + 18 - 16}{4} \] \[ y = \frac{-7}{4} \] \[ y = -1.75 \] Do đó, giá trị cực tiểu của hàm số là \( y = -1.75 \). So sánh với các đáp án đã cho: \[ A.~y_{n^{-6}}=-6 \] \[ B.~y_\sigma=-1 \] \[ C.~y_2=-2 \] \[ D.~y_{cr}=1 \] Rõ ràng, giá trị cực tiểu \( y = -1.75 \) gần nhất với đáp án \( B.~y_\sigma=-1 \). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~y_\sigma=-1} \] Câu 54: Đầu tiên, chúng ta cần đơn giản hóa biểu thức của hàm số: \[ y = x^2 - x^2 + 3 = 3 \] Như vậy, hàm số đã cho thực chất là một hằng số \( y = 3 \). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra xem đồ thị của hàm số này có điểm cực trị nào không. Vì \( y = 3 \) là một hằng số, nên đạo hàm của nó sẽ là: \[ y' = 0 \] Do đó, không tồn tại bất kỳ điểm nào mà đạo hàm bằng không, tức là không có điểm cực trị. Tuy nhiên, vì \( y = 3 \) là một hằng số, mọi điểm trên đồ thị đều có tung độ là 3, và 3 là một số dương. Vậy, đồ thị hàm số \( y = 3 \) không có điểm cực trị, nhưng tất cả các điểm trên đồ thị đều có tung độ là số dương. Đáp án đúng là: D. 0. Câu 55: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho không có cực trị, ta sẽ kiểm tra từng hàm số một. A. \( y = \frac{x^2 + 1}{x} \) Điều kiện xác định: \( x \neq 0 \). Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{(2x)x - (x^2 + 1)}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2}. \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{(x - 1)(x + 1)}{x^2} = 0 \] \[ (x - 1)(x + 1) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = -1. \] Do đó, hàm số này có hai điểm cực trị tại \( x = 1 \) và \( x = -1 \). B. \( y = \frac{2x - 2}{x + 1} \) Điều kiện xác định: \( x \neq -1 \). Tìm đạo hàm: \[ y' = \frac{(2)(x + 1) - (2x - 2)}{(x + 1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x + 2}{(x + 1)^2} = \frac{4}{(x + 1)^2}. \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{4}{(x + 1)^2} = 0 \] Phương trình này vô nghiệm vì tử số luôn khác 0. Do đó, hàm số này không có cực trị. C. \( y = x^2 - 2x + 1 \) Tìm đạo hàm: \[ y' = 2x - 2. \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 2x - 2 = 0 \] \[ x = 1. \] Do đó, hàm số này có một điểm cực trị tại \( x = 1 \). D. \( y = -x^3 + x + 1 \) Tìm đạo hàm: \[ y' = -3x^2 + 1. \] Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -3x^2 + 1 = 0 \] \[ 3x^2 = 1 \] \[ x^2 = \frac{1}{3} \] \[ x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}. \] Do đó, hàm số này có hai điểm cực trị tại \( x = \frac{1}{\sqrt{3}} \) và \( x = -\frac{1}{\sqrt{3}} \). Kết luận Hàm số không có cực trị là: \[ \boxed{B.~y=\frac{2x-2}{x+1}} \] Câu 1: Để giải quyết các bài toán liên quan đến hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 3x} \), chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phần yêu cầu. Phần a: Tập xác định \( D \) Điều kiện để hàm số \( y = \sqrt{x^2 - 3x} \) xác định là biểu thức dưới dấu căn phải không âm: \[ x^2 - 3x \geq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ x(x - 3) \geq 0 \] Bảng xét dấu của \( x(x - 3) \): - \( x \leq 0 \): \( x(x - 3) \geq 0 \) - \( 0 < x < 3 \): \( x(x - 3) < 0 \) - \( x \geq 3 \): \( x(x - 3) \geq 0 \) Vậy tập xác định của hàm số là: \[ D = (-\infty, 0] \cup [3, +\infty) \] Phần b: Đạo hàm \( y' \) Để tìm đạo hàm của \( y = \sqrt{x^2 - 3x} \), chúng ta sử dụng quy tắc chuỗi: \[ y = \sqrt{u} \quad \text{với} \quad u = x^2 - 3x \] \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \] \[ u' = 2x - 3 \] Do đó: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 - 3x}} \cdot (2x - 3) \] \[ y' = \frac{2x - 3}{2\sqrt{x^2 - 3x}} \] Phần c: Giới hạn \( \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3x} \) Khi \( x \to +\infty \), \( x^2 - 3x \) cũng tiến đến \( +\infty \). Do đó: \[ \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3x} = +\infty \] Phần d: Tính đơn điệu của hàm số trên khoảng \( (-1, 1) \) Để xác định tính đơn điệu của hàm số trên khoảng \( (-1, 1) \), chúng ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm \( y' \) trong khoảng này. Trên khoảng \( (-1, 1) \): \[ 2x - 3 \] luôn âm vì \( 2x - 3 < 0 \) khi \( x < \frac{3}{2} \). Do đó: \[ y' = \frac{2x - 3}{2\sqrt{x^2 - 3x}} \] \[ y' < 0 \quad \text{trên khoảng} \quad (-1, 1) \] Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-1, 1) \). Kết luận a) Tập xác định \( D = (-\infty, 0] \cup [3, +\infty) \). b) Đạo hàm \( y' = \frac{2x - 3}{2\sqrt{x^2 - 3x}} \). c) Giới hạn \( \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2 - 3x} = +\infty \). d) Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-1, 1) \). Câu 2: Dựa vào bảng biến thiên đã cho, ta có thể phân tích hàm số như sau: 1. Xét dấu của đạo hàm \( y' \): - Khi \( x < 0 \), \( y' > 0 \) nên hàm số đồng biến. - Khi \( x = 0 \), \( y' = 0 \) nên hàm số có thể có cực trị. - Khi \( 0 < x < 2 \), \( y' < 0 \) nên hàm số nghịch biến. - Khi \( x = 2 \), \( y' = 0 \) nên hàm số có thể có cực trị. - Khi \( x > 2 \), \( y' > 0 \) nên hàm số đồng biến. 2. Xét giá trị của hàm số \( y \): - Khi \( x \to -\infty \), \( y \to 2 \). - Tại \( x = 0 \), hàm số đạt giá trị \( y = 4 \). - Khi \( x \to 2^- \), hàm số giảm xuống giá trị \( y = 5 \). - Tại \( x = 2 \), hàm số đạt giá trị \( y = 5 \). - Khi \( x \to +\infty \), \( y \to 2 \). 3. Xác định cực trị: - Tại \( x = 0 \), hàm số đạt cực đại \( y = 4 \). - Tại \( x = 2 \), hàm số đạt cực tiểu \( y = 5 \). 4. Kết luận về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi \( x = 2 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2, khi \( x \to \pm\infty \). Như vậy, bảng biến thiên cho thấy hàm số có một cực đại tại \( x = 0 \) và một cực tiểu tại \( x = 2 \).