Bài 14. Cho tam giác ABC vuông tại A, góc C= 30°, BC=10cm. a) Tính độ dài các cạnh AB, AC. b) Kẻ từ A các đường thẳng AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B .Chứng m...

a) Trong tam giác vuông ABC, ta có: 
$\displaystyle AB=BC.\sin\hat{C} =10.\sin 30^{0} =10.\frac{1}{2} =5( cm)$
$\displaystyle AC=BC.\cos\hat{C} =10.\cos 30^{0} =10.\frac{\sqrt{3}}{2} =5\sqrt{3}( cm)$
b)Ta có: $\displaystyle BM\ \bot BN$ (tính chất 2 góc kề bù) ⟹ $\displaystyle \widehat{MBN} =90^{0}$ (1)
$\displaystyle AM\ \bot BM$(gt)⟹ $\displaystyle \widehat{AMB} \ =90^{0}$(2) 
AN $\displaystyle \bot $ BN(gt)⟹ $\displaystyle \widehat{ANB} \ =\ 90^{0}$ (3) 
Từ (1) (2) và (3), suy ra: tứ giác AMBN là hình chữ nhật 
⟹$\displaystyle \vartriangle $ΑΜΒ = $\displaystyle \vartriangle $ΝBM (c.g.c) 
⟹$\displaystyle \widehat{ABM} \ =\ \widehat{NMB}$
Mà $\displaystyle \widehat{ABM} \ =\ \widehat{MBC}$ (gt)
⟹$\displaystyle \widehat{NMB} =\ \widehat{NBC}$
Suy ra: $\displaystyle MN\ //\ BC$ (có cặp góc so le trong bằng nhau)
Vì AMBN là hình chữ nhật nên $\displaystyle AB\ =\ MN$
c)Tam giác ABC vuông tại A nên $\displaystyle \hat{B} +\hat{C} =90^{0}$
⟹ $\displaystyle \widehat{B\ } =90^{0} -\widehat{\ C\ } =\ 90^{0} \ -\ 30^{0} \ \ =\ 60^{0} \ $
⟹$\displaystyle \widehat{ABM\ } =\frac{1}{2}\hat{B} \ =\ \frac{1}{2} 60^{0} \ =\ 30^{0}$
Xét 2 tam giác ABC và MAB,, ta có :
$\displaystyle \ \widehat{BAC\ } =\ \widehat{AMB\ } =\ 90^{0}$
$\displaystyle \widehat{ACB\ } =\ \widehat{ABM\ } =\ 90^{0} \ $
$\displaystyle \vartriangle ABC\ \backsim \vartriangle MAB$ (g.g) ⟹ Tỉ số đồng dạng $\displaystyle k\ =\frac{AB}{BC} \ =\frac{1}{2}$