Câu 5.
1. Cho hàm số
a) Hàm số có hai tiệm cận.
Đúng. Hàm số này có tiệm cận đứng là (vì là nghiệm của mẫu số) và tiệm cận xiên là (bằng cách chia đa thức hoặc xét giới hạn khi tiến tới vô cực). Vậy hàm số có hai tiệm cận.
b) Giao điểm của hai tiệm cận là .
Sai. Giao điểm của hai tiệm cận là chính là điểm mà tại đó mẫu số bằng 0, nhưng nếu thay vào hàm số ta được không xác định. Thực ra, giao điểm của hai tiệm cận là , chứ không phải .
c) Khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên bằng .
Đúng. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng chính là khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên. Khoảng cách này bằng .
d) Tiệm cận xiên của hàm số đi qua điểm .
Đúng. Thật vậy, nếu thay vào phương trình tiệm cận xiên ta được . Vậy điểm thuộc tiệm cận xiên.
2. Cho hàm số
a) đồ thị hàm số không có tiệm cận.
Đúng. Vì khi thì hàm số trở thành , đây là hàm phân thức hữu tỉ không có tiệm cận.
b) đồ thị hàm số không có tiệm ngang.
Sai. Vì khi thì hàm số trở thành , đây là hàm phân thức hữu tỉ có tiệm ngang là .
c) đồ thị hàm số không có tiệm đứng.
Sai. Vì khi thì hàm số trở thành , đây là hàm phân thức hữu tỉ có tiệm đứng là .
d) " đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
Đúng. Vì khi và thì hàm số là hàm phân thức hữu tỉ có tiệm cận đứng là và tiệm cận xiên là . Do đó, đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận.
Vậy các mệnh đề đúng là: a), c), d) và các mệnh đề sai là: b), c).
Câu 7.
a) Khi thì hàm số trở thành .
Để tìm tiệm cận xiên, ta tính giới hạn và , trong đó .
Ta có ,
và .
Vậy tiệm cận xiên có phương trình , nên mệnh đề a) đúng.
b) Khi thì hàm số trở thành .
Tính giới hạn như trên, ta được và .
Vậy tiệm cận xiên có phương trình , nên đường thẳng này không đi qua điểm , mệnh đề b) sai.
c) Có 1 đường thẳng (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6.
Đường thẳng (d) có phương trình , với và là các hằng số.
Khi đó, tọa độ giao điểm của (d) với các trục tọa độ là và .
Diện tích tam giác OAB là .
Theo mệnh đề a), khi thì (d) có phương trình , tức là và .
Thay vào công thức diện tích, ta được .
Vậy mệnh đề c) sai.
d) Khi thì khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) bằng .
Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) có phương trình là .
Theo mệnh đề a), khi thì (d) có phương trình , tức là và .
Thay vào công thức khoảng cách, ta được .
Vậy mệnh đề d) sai.
Vậy chỉ có mệnh đề a) là đúng.
Câu 8.
a) Để đồ thị có tiệm cận xiên thì mẫu số không là nghiệm của tử số , tức là , hay . Mệnh đề a) đúng.
b) Nếu đồ thị có tiệm cận xiên thì nó có dạng . Để tiệm cận xiên đi qua thì ta có , hay . Mệnh đề b) đúng.
c) Nếu đồ thị có tiệm cận xiên thì nó có dạng . Tiệm cận xiên cắt trục hoành tại , cắt trục tung tại . Diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và hai trục tọa độ là . Theo giả thiết, ta có , hay . Giải phương trình này, ta tìm được hoặc . Tổng các giá trị m tìm được bằng , khác 2. Mệnh đề c) sai.
d) Với , tiệm cận xiên của có phương trình . Giao điểm của hai đường tiệm cận là . Điểm này không nằm trên parabol . Mệnh đề d) sai.
Vậy, chỉ có mệnh đề b) là đúng. Đáp án: b.
Câu 9.
a) Đúng. Vì khi tiến tới , giá trị của hàm số tiến tới vô cùng, nên là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
b) Sai. Vì khi tiến tới vô cùng, giá trị của hàm số tiến tới , nên là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
c) Sai. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm của hai đường tiệm cận, tức là điểm .
d) Đúng. Điểm M thuộc (C) và tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có chu vi nhỏ nhất khi M là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm đối xứng và giao điểm của hai đường tiệm cận. Khi đó, chu vi tam giác bằng . Do đó, , , và .
Vậy, các mệnh đề a), d) đúng, các mệnh đề b), c) sai.