giải chi tiết cho mik vs

Câu 5. 1. Cho hàm số $y=\frac{x^2-2x+2}{x+2}.$ a) Hàm số có hai tiệm cận. Đúng. Hàm số này có tiệm cận đứng là $x=-2$ (vì là nghiệm của mẫu số) và tiệm cận xiên là $y=x-4$ (bằng cách chia đa thức hoặc xét giới hạn khi $x$ tiến tới vô cực). Vậy hàm số có hai tiệm cận. b) Giao điểm của hai tiệm cận là $I(-2;-6)$. Sai. Giao điểm của hai tiệm cận là $I(-2;-6)$ chính là điểm mà tại đó mẫu số bằng 0, nhưng nếu thay $x=-2$ vào hàm số ta được $y=\frac{(-2)^2-2(-2)+2}{-2+2}$ không xác định. Thực ra, giao điểm của hai tiệm cận là $I(-2; -4)$, chứ không phải $I(-2; -6)$. c) Khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên bằng $4\sqrt2$. Đúng. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng $y=x-4$ chính là khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên. Khoảng cách này bằng $\frac{|0-0-4|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2}$. d) Tiệm cận xiên của hàm số đi qua điểm $M(0;-4)$. Đúng. Thật vậy, nếu thay $x=0$ vào phương trình tiệm cận xiên $y=x-4$ ta được $y=0-4=-4$. Vậy điểm $M(0;-4)$ thuộc tiệm cận xiên. 2. Cho hàm số $y=\frac{x-1}{mx^3-1}.$ a) $m=0$ đồ thị hàm số không có tiệm cận. Đúng. Vì khi $m=0$ thì hàm số trở thành $y=\frac{x-1}{-1}$, đây là hàm phân thức hữu tỉ không có tiệm cận. b) $m=1$ đồ thị hàm số không có tiệm ngang. Sai. Vì khi $m=1$ thì hàm số trở thành $y=\frac{x-1}{x^3-1}$, đây là hàm phân thức hữu tỉ có tiệm ngang là $y=0$. c) $m=1$ đồ thị hàm số không có tiệm đứng. Sai. Vì khi $m=1$ thì hàm số trở thành $y=\frac{x-1}{x^3-1}$, đây là hàm phân thức hữu tỉ có tiệm đứng là $x=1$. d) "$\left\{\begin{array}lm\ne0\\m\ne1\end{array}\right.$ đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. Đúng. Vì khi $m\ne0$ và $m\ne1$ thì hàm số $y=\frac{x-1}{mx^3-1}$ là hàm phân thức hữu tỉ có tiệm cận đứng là $x=\frac{1}{\sqrt[3]{m}}$ và tiệm cận xiên là $y=\frac{1}{m^2\sqrt[3]{m}}x-\frac{1}{m^2\sqrt[3]{m}}-\frac{1}{m\sqrt[3]{m}}$. Do đó, đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. Vậy các mệnh đề đúng là: a), c), d) và các mệnh đề sai là: b), c). Câu 7. a) Khi $m=2$ thì hàm số trở thành $y=\frac{2x^2+x+2}{x-1}$. Để tìm tiệm cận xiên, ta tính giới hạn $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$ và $\lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)$, trong đó $a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}$. Ta có $a=\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+x+2}{x(x-1)}=2$, và $\lim_{x\to\infty}(f(x)-2x)=\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+x+2-2x(x-1)}{x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+x+2-2x^2+2x}{x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x+2}{x-1}=3$. Vậy tiệm cận xiên có phương trình $y=2x+3$, nên mệnh đề a) đúng. b) Khi $m=1$ thì hàm số trở thành $y=\frac{x^2+1}{x-1}$. Tính giới hạn như trên, ta được $a=1$ và $\lim_{x\to\infty}(f(x)-x)=0$. Vậy tiệm cận xiên có phương trình $y=x$, nên đường thẳng này không đi qua điểm $A(1;4)$, mệnh đề b) sai. c) Có 1 đường thẳng (d) tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 6. Đường thẳng (d) có phương trình $y=ax+b$, với $a$ và $b$ là các hằng số. Khi đó, tọa độ giao điểm của (d) với các trục tọa độ là $A(0;b)$ và $B( -\frac{b}{a};0)$. Diện tích tam giác OAB là $\frac{1}{2}|-b.\frac{b}{a}|=\frac{b^2}{2a}$. Theo mệnh đề a), khi $m=2$ thì (d) có phương trình $y=2x+3$, tức là $a=2$ và $b=3$. Thay vào công thức diện tích, ta được $\frac{b^2}{2a}=\frac{3^2}{2.2}=\frac{9}{4}\neq 6$. Vậy mệnh đề c) sai. d) Khi $m=\pm\sqrt3$ thì khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) bằng $\sqrt3$. Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng (d) có phương trình $y=ax+b$ là $\frac{|b|}{\sqrt{a^2+1}}$. Theo mệnh đề a), khi $m=2$ thì (d) có phương trình $y=2x+3$, tức là $a=2$ và $b=3$. Thay vào công thức khoảng cách, ta được $\frac{|b|}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{3}{\sqrt{2^2+1}}=\frac{3}{\sqrt{5}}\neq \sqrt3$. Vậy mệnh đề d) sai. Vậy chỉ có mệnh đề a) là đúng. Câu 8. a) Để đồ thị $(C_m)$ có tiệm cận xiên thì mẫu số $x-1$ không là nghiệm của tử số $x^2+mx-1$, tức là $1^2+m.1-1\neq0$, hay $m\neq0$. Mệnh đề a) đúng. b) Nếu đồ thị $(C_m)$ có tiệm cận xiên thì nó có dạng $y=x+m-1$. Để tiệm cận xiên đi qua $M(2,-5)$ thì ta có $-5=2+m-1$, hay $m=-8$. Mệnh đề b) đúng. c) Nếu đồ thị $(C_m)$ có tiệm cận xiên thì nó có dạng $y=x+m-1$. Tiệm cận xiên cắt trục hoành tại $x=1-m$, cắt trục tung tại $y=m-1$. Diện tích tam giác tạo bởi tiệm cận xiên và hai trục tọa độ là $\frac{1}{2}|(1-m)(m-1)|$. Theo giả thiết, ta có $\frac{1}{2}|(1-m)(m-1)|=8$, hay $|(1-m)(m-1)|=16$. Giải phương trình này, ta tìm được $m=3$ hoặc $m=-5$. Tổng các giá trị m tìm được bằng $3-5=-2$, khác 2. Mệnh đề c) sai. d) Với $m=3$, tiệm cận xiên của $(C_m)$ có phương trình $y=x+2$. Giao điểm của hai đường tiệm cận là $I(1,2)$. Điểm này không nằm trên parabol $y=x^2+3$. Mệnh đề d) sai. Vậy, chỉ có mệnh đề b) là đúng. Đáp án: b. Câu 9. a) Đúng. Vì khi $x$ tiến tới $1$, giá trị của hàm số tiến tới vô cùng, nên $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. b) Sai. Vì khi $x$ tiến tới vô cùng, giá trị của hàm số tiến tới $1$, nên $y=1$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. c) Sai. Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là giao điểm của hai đường tiệm cận, tức là điểm $I(1;1)$. d) Đúng. Điểm M thuộc (C) và tiếp tuyến của (C) tại M tạo với hai đường tiệm cận của (C) một tam giác có chu vi nhỏ nhất khi M là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm đối xứng và giao điểm của hai đường tiệm cận. Khi đó, chu vi tam giác bằng $2\sqrt{2}$. Do đó, $a=0$, $b=-2$, $c=2$ và $a+b+c=0-2+2=0$. Vậy, các mệnh đề a), d) đúng, các mệnh đề b), c) sai.