Giải phương trình nghiệm nguyên: x^2-y^2(x+y^4+6y^2)=0

$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
x^{2} -y^{2}\left( x+y^{4} +6y^{2}\right) =0\\
x^{2} -y^{2} .x-y^{2}\left( y^{4} +6y^{2}\right) =0\ ( 1) \ 
\end{array}$
Ta coi phương trình (1) là phương trình bậc 2 ẩn x. Khi đó PT (1) có: 
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Delta =\left( -y^{2}\right)^{2} -4.\left[ -y^{2}\left( y^{4} +6y^{2}\right)\right]\\
=y^{4} +4y^{6} +24y^{4}\\
=25y^{4} +4y^{6}\\
=y^{4}\left( 25+4y^{2}\right)
\end{array}$
Để phương trình đã cho có nghiệm nguyên thì: $\displaystyle \Delta $ phải là số chính phương 
Do đó: $\displaystyle 25+4y^{2} =k^{2} \ ( k\in Z)$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
k^{2} -4y^{2} =25\\
( k-2y)( k+2y) =25
\end{array}$
Mà $\displaystyle k-2y;\ k+2y\ \in Z;\ 25=1.25=( -1)( -25) =5.5=( -5) .( -5) \ $
Do đó ta có bảng sau: 

Với $\displaystyle y=-6$ hoặc $\displaystyle y=6$ ta có: $\displaystyle y^{2} =36$ thay vào phương trình đã cho ta được: 
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
x^{2} -36x-36.( 1296+6.36) =0\\
x^{2} -36x-54432=0\\
( x-252)( x-216) =0\\
\left[ \begin{array}{l l}
x-252=0 & \\
x-216=0 & 
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l l}
x=252 & \\
x=216 & 
\end{array} \right.
\end{array}$
Với $\displaystyle y=0$ thay vào phương trình đã cho ta được: 
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
x^{2} =0\\
x=0
\end{array}$
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm nguyên (x;y) là: (252;6);(252;-6);(216;6);(216;-6);(0;0)