Cho hình thoi ABCD, có góc A=60°. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng thuộc một đường tròn

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của hình thoi ABCD. Vì ABCD là hình thoi nên AC vuông góc với BD tại O và O là trung điểm của mỗi đường chéo. Ta có: - E là trung điểm của AB nên OE là đường trung bình của tam giác ABD, suy ra OE song song với AD và OE = 1/2 AD. - Tương tự, OF song song với BC và OF = 1/2 BC. - OG song song với DC và OG = 1/2 DC. - OH song song với AD và OH = 1/2 AD. Vì ABCD là hình thoi nên AD = BC và DC = AB, do đó OE = OF = OG = OH. Như vậy, tất cả các điểm E, F, G, H đều cách đều O một khoảng bằng 1/2 độ dài cạnh hình thoi. Mặt khác, vì góc A = 60° nên góc B = 120° (vì góc B bù với góc A). Góc B và góc D là hai góc đối diện trong hình thoi, nên góc D = 120°. Suy ra góc BOD = 180° - (B + D)/2 = 180° - (120° + 120°)/2 = 180° - 120° = 60°. Vậy góc BOD = góc A = 60°. Từ các kết quả trên, ta có thể kết luận rằng 6 điểm E, F, G, H, B, D cùng thuộc một đường tròn tâm O, bán kính bằng 1/2 độ dài cạnh hình thoi.