Tam giác ABC vuông tại A. Lấy D nằm giữa A và C. Qua C kẻ CE vuông góc với đường thẳng BD tại E. Chứng minh: a) tam giác ADE đồng dạng với tam giác BDC. b) AB . CE + AE . BC = AC . BE.

a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác BDC. Xét tam giác ADE và tam giác BDC, ta có: $\angle ADE = \angle BDC$ (vì cùng bằng 90 độ) $\angle AED = \angle DCB$ (vì cùng bằng $\angle ABC$) Do đó, theo định lý góc-góc, tam giác ADE đồng dạng với tam giác BDC. b) Chứng minh AB . CE + AE . BC = AC . BE. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC, ta có: $AB^2 = BC^2 - AC^2$ (1) $AC^2 = BC^2 - AB^2$ (2) Từ (1) và (2), ta có: $AB^2 + AC^2 = 2BC^2$ (3) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ADE, ta có: $AD^2 = AE^2 + DE^2$ (4) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BDC, ta có: $BD^2 = BC^2 - CD^2 = BC^2 - AD^2$ (5) Từ (4) và (5), ta có: $BD^2 = BC^2 - (AE^2 + DE^2)$ (6) Mặt khác, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BDC, ta có: $BD^2 = BC^2 - CD^2 = BC^2 - DE^2$ (7) Từ (6) và (7), ta có: $BC^2 - (AE^2 + DE^2) = BC^2 - DE^2$ (8) Từ (8), ta có: $AE^2 = DE^2$ (9) Từ (9), ta có: $AE = DE$ (10) Từ (10), ta có: $AB . CE + AE . BC = AB . CE + DE . BC = AC . BE$ (vì $AB = AC$ và $CE = BE$) Vậy, ta đã chứng minh được AB . CE + AE . BC = AC . BE.