Tìm GTNN của biểu thức

C = x^2 - 4xy + 5y^2+ 10 x -22y +30

Question

Tìm GTNN của biểu thức

C = x^2 - 4xy + 5y^2+ 10 x -22y +30

Tấn Trọng · Accepted Answer

tìm giá trị lớn nhất của biểu thức -4x^2-5y^2+5xy+10y+12

Timi · Answer

Để tìm GTNN của biểu thức C, ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi và đặt ẩn phụ.

C = x^2 - 4xy + 5y^2+ 10 x -22y +30
= (x^2 - 4xy + 4y^2) + (y^2 - 22y + 121) + 30 - 44 - 121
= (x - 2y)^2 + (y - 11)^2 - 175

Vì (x - 2y)^2 ≥ 0 và (y - 11)^2 ≥ 0 nên (x - 2y)^2 + (y - 11)^2 ≥ 0.

Do đó, C = (x - 2y)^2 + (y - 11)^2 - 175 ≥ -175.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x - 2y = 0 và y - 11 = 0, tức là x = 2y và y = 11. Khi đó, x = 2 * 11 = 22.

Vậy GTNN của biểu thức C là -175, đạt được khi x = 22 và y = 11.

Đặng Đình Tùng · Answer

{"userId":5244699,"userName":"_.Cmtutey_."}

$$C=x^2-4xy+5y^2+10x-22y+30$$

$$=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+y^2+10x-22y+30$$

$$=\left(x-2y\right)^2+2.\left(x-2y\right).5+5^2+y^2-2y+5$$

$$=\left(x-2y+5\right)^2+\left(y^2-2y+1\right)+4$$

$$=\left(x-2y+5\right)^2+\left(y-1\right)^2+4\ge4$$ với mọi số thực $$x;y$$

Dấu "=" xảy ra khi: $$\left(x-2y+5\right)^2=\left(y-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=-3;y=1$$

Vậy GTNN của C là: 4

kimlee · Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
C=x^{2} -4xy+5y^{2} +10x-22y+30\
=\left( x^{2} +4y^{2} +25+10x-4xy-20y ight) +\left( y^{2} -2y+1 ight) +4\
=( x-2y+5)^{2} +( y-1)^{2} +4\
( x-2y+5)^{2} \geqslant 0\ \forall x;y\
( y-1)^{2} \geqslant 0\ \forall y
\end{array}$
Suy ra $\displaystyle ( x-2y+5)^{2} +( y-1)^{2} +4\geqslant 4\ \forall x;y\ $
Dấu "=" xảy ra khi:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\begin{cases}
x-2y+5=0 & \
y-1=0 &
\end{cases}\
\begin{cases}
x=-3 & \
y=1 &
\end{cases}
\end{array}$
Vậy GTNN của C bằng 4 tại $\displaystyle x=-3;y=1\ $