Cho Tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao a) Chứng minh BC tiếp xúc với đường tròn (A) bán kính AH b) Gọi M và N là điểm đối xứng H lần lượt qua AB và CA. Chứng minh BM VÀ CN là tia tiếp tuyến củ...

a, Xét (A;AH) có: $\displaystyle BC\bot AH,\ H\in ( A)$
Do đó BC là đường tiếp tuyến của (O)
b, Vì M đối xứng với H qua AB nên AM=AH, BM=BH
$\displaystyle \Longrightarrow M\in ( A,AH)$
Xét $\displaystyle \vartriangle AMB$ và $\displaystyle \vartriangle AHB$ có:
AM=AH
AB: cạnh chung
MB=BH
Do đó $\displaystyle \vartriangle AMB=\vartriangle AHB$ (c.c.c)
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{AMB} =\widehat{AHB} =90^{0}$ (2 góc tương ứng)
$\displaystyle \Longrightarrow BM\bot AM$
$\displaystyle \Longrightarrow BM$ là tiếp tuyến của (A)
Vì N đối xứng với H qua AC nên AN=AH, HC=NC
$\displaystyle \Longrightarrow N\in ( A;AH)$
Xét $\displaystyle \vartriangle AHC$ và $\displaystyle \vartriangle ANC$ có:
AH=AN
AC: cạnh chung
HC=NC
Do đó $\displaystyle \vartriangle AHC=\vartriangle ANC$ (c.c.c)
$\displaystyle \Longrightarrow \widehat{ANC} =\widehat{AHC} =90^{0}$ (2 góc tương ứng)
$\displaystyle \Longrightarrow NC\bot AN$
$\displaystyle \Longrightarrow $NC là tiếp tuyến của (A;AH)

c, Ta có: $\displaystyle \vartriangle AMB=\vartriangle AHB\Longrightarrow \widehat{BAM} =\widehat{BAH}$
$\displaystyle \vartriangle HAC=\vartriangle NAC\Longrightarrow \widehat{NAC} =\widehat{HAC}$
Ta có: $\displaystyle \widehat{MAN} =\widehat{MAB} +\widehat{HAB} +\widehat{HAC} +\widehat{NAC} =2(\widehat{BAH} +\widehat{CAH}) =2.90^{0} =180^{0}$
$\displaystyle \Longrightarrow M,N,A$ thẳng hàng
Lại có: $\displaystyle MN=AM+AN=AH+AH=2AH$
Do đó MN là đường kính của (A;AH)

d, Xét $\displaystyle \vartriangle ABC$ vuông tại A có: AH là đường cao
Theo hệ thức lượng ta có: $\displaystyle AH^{2} =BH.HC=2.4,5=9$
$\displaystyle \Longrightarrow AH=3( cm)$
Ta có: $\displaystyle BC=BH+HC=2+4,5=6,5cm$
$\displaystyle S_{ABC} =\frac{1}{2} .AH.BC=\frac{1}{2} .3.6,5=9,75\left( cm^{2}\right)$
Ta có: $\displaystyle \vartriangle AMB=\vartriangle AHB\Longrightarrow S_{AMB} =S_{AHB}$
$\displaystyle \vartriangle NAC=\vartriangle HAC\Longrightarrow S_{NAC} =S_{HAC}$
Ta có: 
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
S_{BMNC} =S_{AMB} +S_{AHB} +S_{NAC} +S_{HAC}\\
=2( S_{AHB} +S_{HAC})\\
=2S_{ABC} =2.9,75=19,5\left( cm^{2}\right)
\end{array}$