chứng minh rằng với n thuộc N thì b) (2n^3n^3 +n) chia hết cho 6

Question

chứng minh rằng với n thuộc N thì b) (2n^3n^3 +n) chia hết cho  6

UmeTpstEunchan · Accepted Answer

Xét
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
2n^{3} +3n^{2} +n\
=n\left( 2n^{2} +3n+1 ight)\
=n\left( 2n^{2} +n+2n+1 ight)\
=n[ n( 2n+1) +1( 2n+1)]\
=n( 2n+1)( n+1)
\end{array}$
Vì $\displaystyle n$ và $\displaystyle n+1$ là 2 số nguyên liên tiếp lên $\displaystyle n( 2n+1)( n+1)$ luôn chia hết cho 2
Vậy để $\displaystyle 2n^{3} +3n^{2} +n$ chia hết cho $\displaystyle 6$ ta cần chứng minh $\displaystyle n( 2n+1)( n+1)$ chia hết cho 3
TH1 $\displaystyle n=3k+1\ ( k\in Z)$
$\displaystyle ( 3k+1)( 3k+2)( 6k+3)$ chia hết cho 3
TH2 $\displaystyle n=3k+2\ ( k\in Z)$
$\displaystyle ( 3k+2)( 3k+3)( 6k+5)$ chia hết cho 3
Vậy $\displaystyle n( 2n+1)( n+1)$ chia hết cho 3
Mà 2 và 3 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên $\displaystyle n( 2n+1)( n+1)$ chia hết cho 6
Vậy $\displaystyle 2n^{3} +3n^{2} +n$ chia hết cho 6 với mọi $\displaystyle n\in N$

Timi · Answer

Để chứng minh rằng $(2n^3 + n)$ chia hết cho 6 với mọi $n$ thuộc tập hợp số tự nhiên, ta có thể phân tích biểu thức thành nhân tử và sử dụng tính chất chia hết của số nguyên.

Ta có:
$$2n^3 + n = n(2n^2 + 1).$$

Với mọi $n$ thuộc tập hợp số tự nhiên, ta luôn có $n$ là số nguyên.

Ta cần chứng minh $2n^2 + 1$ chia hết cho 3.

Thật vậy, theo định lý về tính chất chia hết của số nguyên, ta có:
$$2n^2 + 1 \equiv 2(0)^2 + 1 \equiv 1 \pmod{3}.$$

Vậy $2n^2 + 1$ không chia hết cho 3.

Tuy nhiên, ta có thể phân tích thêm như sau:
$$2n^2 + 1 = (2n^2 - 2) + 3 = 2(n^2 - 1) + 3 = 2(n - 1)(n + 1) + 3.$$

Với mọi $n$ thuộc tập hợp số tự nhiên, ta luôn có $n - 1$, $n$, $n + 1$ là ba số tự nhiên liên tiếp. Trong ba số tự nhiên liên tiếp, tồn tại ít nhất một số chia hết cho 2 và ít nhất một số chia hết cho 3. Do đó, tích $(n - 1)(n + 1)$ chia hết cho 2 và 3, tức là chia hết cho 6.

Vậy $2n^3 + n = n(2n^2 + 1) = n[2(n - 1)(n + 1) + 3]$ chia hết cho 6 với mọi $n$ thuộc tập hợp số tự nhiên.