Giải hộ mình câu này với các bạn Tìm GTLN, GTNN(Nếu có) a) A= $ 4x^2 $+$ 2y^2 $+$ 4xy+4x-2y+8 $ b) B= $ 5x^{2^{}}+y^2-2xy-4y+6 $

Kha Nguyệt

Để tìm giá trị lớn nhất (max) và nhỏ nhất (min) của các hàm \( A \) và \( B \), chúng ta cần tính đạo hàm riêng theo \( x \) và \( y \), sau đó giải hệ phương trình để tìm các điểm cực trị. Sau đó, đánh giá giá trị của hàm tại các điểm đó để xác định max và min. ### Hàm \( A \) \[ A = 4x^2 + 2y^2 + 4xy + 4x - 2y + 8 \] Tính đạo hàm riêng của \( A \): \[ \frac{\partial A}{\partial x} = 8x + 4y + 4 \] \[ \frac{\partial A}{\partial y} = 4y + 4x - 2 \] Giải hệ phương trình: \[ 8x + 4y + 4 = 0 \] \[ 4y + 4x - 2 = 0 \] Giải phương trình đầu tiên cho \( y \): \[ 4y = -8x - 4 \implies y = -2x - 1 \] Thay \( y = -2x - 1 \) vào phương trình thứ hai: \[ 4(-2x - 1) + 4x - 2 = 0 \] \[ -8x - 4 + 4x - 2 = 0 \] \[ -4x - 6 = 0 \implies x = -\frac{3}{2} \] Thay \( x = -\frac{3}{2} \) vào \( y = -2x - 1 \): \[ y = -2\left(-\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2 \] Vậy điểm cực trị của hàm \( A \) là \( \left( -\frac{3}{2}, 2 \right) \). Tính giá trị của hàm \( A \) tại điểm này: \[ A\left( -\frac{3}{2}, 2 \right) = 4\left( -\frac{3}{2} \right)^2 + 2(2)^2 + 4\left( -\frac{3}{2} \right)(2) + 4\left( -\frac{3}{2} \right) - 2(2) + 8 \] \[ = 4\left( \frac{9}{4} \right) + 8 - 12 - 6 - 4 + 8 \] \[ = 9 + 8 - 12 - 6 - 4 + 8 \] \[ = 3 \] ### Hàm \( B \) \[ B = 5x^2 + y^2 - 2xy - 4y + 6 \] Tính đạo hàm riêng của \( B \): \[ \frac{\partial B}{\partial x} = 10x - 2y \] \[ \frac{\partial B}{\partial y} = 2y - 2x - 4 \] Giải hệ phương trình: \[ 10x - 2y = 0 \] \[ 2y - 2x - 4 = 0 \] Giải phương trình đầu tiên cho \( y \): \[ -2y = -10x \implies y = 5x \] Thay \( y = 5x \) vào phương trình thứ hai: \[ 2(5x) - 2x - 4 = 0 \] \[ 10x - 2x - 4 = 0 \] \[ 8x - 4 = 0 \implies x = \frac{1}{2} \] Thay \( x = \frac{1}{2} \) vào \( y = 5x \): \[ y = 5\left( \frac{1}{2} \right) = \frac{5}{2} \] Vậy điểm cực trị của hàm \( B \) là \( \left( \frac{1}{2}, \frac{5}{2} \right) \). Tính giá trị của hàm \( B \) tại điểm này: \[ B\left( \frac{1}{2}, \frac{5}{2} \right) = 5\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( \frac{5}{2} \right)^2 - 2\left( \frac{1}{2} \right)\left( \frac{5}{2} \right) - 4\left( \frac{5}{2} \right) + 6 \] \[ = 5\left( \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{25}{4} \right) - \left( \frac{5}{2} \right) - 10 + 6 \] \[ = \frac{5}{4} + \frac{25}{4} - \frac{5}{2} - 10 + 6 \] \[ = \frac{30}{4} - \frac{10}{4} - 10 + 6 \] \[ = \frac{20}{4} - 4 \] \[ = 5 - 4 = 1 \] ### Kết luận: - Giá trị min của hàm \( A \) là \( 3 \) tại điểm \( \left( -\frac{3}{2}, 2 \right) \). - Giá trị min của hàm \( B \) là \( 1 \) tại điểm \( \left( \frac{1}{2}, \frac{5}{2} \right) \). - Giá trị max của \( A \) và \( B \) không giới hạn (tend to infinity)