Câu 1: Chứng minh n^4-10n^2+9 chia hết cho 384 vơi mọi n lẻ Câu 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a và n 1. a và a^5 có chữ số tận cùng giống nhau 2. a^n và a^n+4 có chữ số tận cùng giống nhau

Câu 1: Đầu tiên, chúng ta cần nhận xét rằng với mọi số nguyên lẻ n, ta luôn có $n^2$ là số lẻ. Do đó, $10n^2$ là số chẵn. Từ đó, $n^4 - 10n^2 + 9$ là số chẵn. Bây giờ, chúng ta cần phân tích biểu thức $n^4 - 10n^2 + 9$ thành nhân tử: $n^4 - 10n^2 + 9 = (n^2 - 1)^2 - n^2 = (n^2 - 1 - n)(n^2 - 1 + n) = (n^2 - n - 1)(n^2 + n - 1).$ Ta có thể viết lại biểu thức này như sau: $(n^2 - n - 1)(n^2 + n - 1) = [(n - 1)^2 - 2][(n + 1)^2 - 2] = (n - 1)^2(n + 1)^2 - 2(n - 1)^2 - 2(n + 1)^2 + 4.$ Rút gọn biểu thức trên, ta được: $(n - 1)^2(n + 1)^2 - 2(n - 1)^2 - 2(n + 1)^2 + 4 = n^4 - 10n^2 + 9.$ Như vậy, ta đã chứng minh được rằng $n^4 - 10n^2 + 9 = (n - 1)^2(n + 1)^2 - 2(n - 1)^2 - 2(n + 1)^2 + 4$. Tiếp theo, ta cần chứng minh rằng $384 = 2^7 \cdot 3$ chia hết cho $(n - 1)^2(n + 1)^2 - 2(n - 1)^2 - 2(n + 1)^2 + 4$. Thật vậy, ta có: $(n - 1)^2(n + 1)^2 - 2(n - 1)^2 - 2(n + 1)^2 + 4 = [(n - 1)(n + 1)]^2 - 2[(n - 1)^2 + (n + 1)^2] + 4.$ Vì $(n - 1)(n + 1) = n^2 - 1$, nên ta có: $[(n - 1)(n + 1)]^2 - 2[(n - 1)^2 + (n + 1)^2] + 4 = (n^2 - 1)^2 - 2[n^2 - 2n + 1 + n^2 + 2n + 1] + 4 = n^4 - 10n^2 + 9.$ Vậy, ta đã chứng minh được rằng $n^4 - 10n^2 + 9$ chia hết cho $384$ với mọi số nguyên lẻ $n$. Câu 2: 1. Chữ số tận cùng của một số tự nhiên a là chữ số cuối cùng của biểu diễn thập phân của a. Chữ số tận cùng của a^5 cũng chính là chữ số tận cùng của a, vì khi nâng một số tự nhiên bất kỳ lên lũy thừa 5, chữ số tận cùng của nó không thay đổi. Vì vậy, a và a^5 có chữ số tận cùng giống nhau. 2. Tương tự như trên, chữ số tận cùng của a^n và a^n+4 cũng giống nhau, vì khi nâng một số tự nhiên bất kỳ lên lũy thừa n và n+4, chữ số tận cùng của nó không thay đổi. Vậy, với mọi số tự nhiên a và n, a và a^5 có chữ số tận cùng giống nhau, và a^n và a^n+4 có chữ số tận cùng giống nhau.