chứng minh √5;√7 là những số vô tỉ

Giả sử $\displaystyle \sqrt{7}$ là số hữu tỉ suy ra $\displaystyle \sqrt{7} =\frac{m}{n}$( $\displaystyle \frac{m}{n}$là phân số tối giản, $\displaystyle m;\ n\ \in \ Z,\ m\ \neq \ 0)$
Suy ra: $\displaystyle \left(\sqrt{7}\right)^{2} =\left(\frac{m}{n}\right)^{2}$ suy ra: $\displaystyle m^{2} =7n^{2}$ (1)
Điều này chứng tỏ $\displaystyle m²\ \vdots \ 7$ mà $\displaystyle 7$ là số nguyên tố nên $\displaystyle m\ \vdots \ 7$
Đặt $\displaystyle m\ =\ 7k\ ( k\ \in \ Z)$, suy ra $\displaystyle m²\ =\ ( 7k) ²\ =\ 49k²$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\displaystyle 7n²\ =\ 49k²\ \mathrm{suy\ ra} \ n²\ =\ 7k^{2}$
Suy ra: $\displaystyle n²\vdots \ 7\ =\ n\vdots \ 7$ (vì 7 là số nguyên tố)
Do đó cả m và n đều cùng chia hết cho 7, vậy$\displaystyle \frac{m}{n}$ không phải phân số tối giản, mâu thuẫn.
Vậy giả sử sai nên là $\displaystyle \sqrt{7}$ số vô tỉ (đpcm).
Giả sử $\displaystyle \sqrt{5}$ là số hữu tỉ suy ra $\displaystyle \sqrt{5} =\frac{m}{n}$( $\displaystyle \frac{m}{n}$là phân số tối giản, $\displaystyle m;\ n\ \in \ Z,\ m\ \neq \ 0)$
Suy ra: $\displaystyle \left(\sqrt{5}\right)^{2} =\left(\frac{m}{n}\right)^{2}$ suy ra: $\displaystyle m^{2} =5n^{2}$ (1)
Điều này chứng tỏ $\displaystyle m²\ \vdots \ 5$ mà $\displaystyle 5$ là số nguyên tố nên $\displaystyle m\ \vdots 5$
Đặt $\displaystyle m\ =\ 5k\ ( k\ \in \ Z)$, suy ra $\displaystyle m²\ =\ ( 5k) ²\ =\ 25k²$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\displaystyle 5n²\ =\ 25k²\ \mathrm{suy\ ra} \ n²\ =\ 5k^{2}$
Suy ra: $\displaystyle n²\vdots \ 5\ =\ n\vdots \ 5$ (vì 5 là số nguyên tố)
Do đó cả m và n đều cùng chia hết cho 5, vậy$\displaystyle \frac{m}{n}$ không phải phân số tối giản, mâu thuẫn.
Vậy giả sử sai nên là $\displaystyle \sqrt{5}$ số vô tỉ (đpcm).