Câu 1.
Để tìm bảng phân phối xác suất của X, chúng ta cần tính xác suất P(X=k) với k=0,1,2.
1. Tính P(X=0):
Số cách chọn 2 sản phẩm từ 10 sản phẩm là C(10,2) = 45.
Số cách chọn 2 sản phẩm từ 6 sản phẩm tốt là C(6,2) = 15.
Do đó, P(X=0) = C(6,2)/C(10,2) = 15/45 = 1/3.
2. Tính P(X=1):
Số cách chọn 1 sản phẩm từ 4 phế phẩm và 1 sản phẩm từ 6 sản phẩm tốt là C(4,1)*C(6,1) = 24.
Do đó, P(X=1) = C(4,1)*C(6,1)/C(10,2) = 24/45 = 8/15.
3. Tính P(X=2):
Số cách chọn 2 sản phẩm từ 4 phế phẩm là C(4,2) = 6.
Do đó, P(X=2) = C(4,2)/C(10,2) = 6/45 = 2/15.
Vậy bảng phân phối xác suất của X là:
| X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(X) | 1/3 | 8/15 | 2/15 |
Câu 2.
Đầu tiên, chọn ngẫu nhiên từ lô hàng I ra 1 sản phẩm và bỏ vào lô hàng II. Có 3 sản phẩm tốt và 2 phế phẩm trong lô hàng I, nên xác suất chọn được sản phẩm tốt là và xác suất chọn được sản phẩm phế phẩm là .
Sau đó, từ lô hàng II chọn ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt chọn được từ lô hàng II. Ta có các trường hợp sau:
1. Chọn 1 sản phẩm tốt từ lô hàng I và 1 sản phẩm tốt từ lô hàng II. Xác suất xảy ra là .
2. Chọn 1 sản phẩm tốt từ lô hàng I và 1 sản phẩm phế phẩm từ lô hàng II. Xác suất xảy ra là .
3. Chọn 1 sản phẩm phế phẩm từ lô hàng I và 1 sản phẩm tốt từ lô hàng II. Xác suất xảy ra là .
4. Chọn 1 sản phẩm phế phẩm từ lô hàng I và 1 sản phẩm phế phẩm từ lô hàng II. Xác suất xảy ra là .
Tổng hợp lại, ta có bảng phân phối xác suất của X như sau:
| X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(X) | | | |
Rút gọn các phân số, ta được bảng phân phối xác suất của X:
| X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(X) | | | |
Vậy bảng phân phối xác suất của X là:
| X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(X) | | | |
Câu 3.
Để tìm hàm phân phối xác suất F(x) của X, ta cần tính xác suất P(X < x) với x = 0, 1, 2.
1. Khi x = 0:
P(X < 0) = P(X = 0) = P(chọn được 0 phế phẩm)
Có 2 cách chọn 0 phế phẩm từ kiện hàng I (chọn 3 sản phẩm tốt) và 1 cách chọn 0 phế phẩm từ kiện hàng II (chọn 2 sản phẩm tốt). Tổng cộng có 2 * 1 = 2 cách chọn 0 phế phẩm.
Tổng số cách chọn 1 sản phẩm từ kiện hàng I và 1 sản phẩm từ kiện hàng II là 5 * 6 = 30 cách (5 cách chọn từ kiện hàng I và 6 cách chọn từ kiện hàng II).
Do đó, P(X = 0) = 2/30 = 1/15.
2. Khi x = 1:
P(X < 1) = P(X = 0) = 1/15.
P(X = 1) = P(chọn được 1 phế phẩm)
Có 2 cách chọn 1 phế phẩm từ kiện hàng I (chọn 2 phế phẩm và 1 tốt) và 4 cách chọn 1 phế phẩm từ kiện hàng II (chọn 1 phế phẩm và 1 tốt). Tổng cộng có 2 * 4 = 8 cách chọn 1 phế phẩm.
Do đó, P(X = 1) = 8/30 = 4/15.
3. Khi x = 2:
P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 1/15 + 4/15 = 5/15 = 1/3.
P(X = 2) = P(chọn được 2 phế phẩm)
Có 1 cách chọn 2 phế phẩm từ kiện hàng I (chọn 2 phế phẩm) và 1 cách chọn 2 phế phẩm từ kiện hàng II (chọn 2 phế phẩm). Tổng cộng có 1 * 1 = 1 cách chọn 2 phế phẩm.
Do đó, P(X = 2) = 1/30.
Vậy hàm phân phối xác suất F(x) của X là:
F(x) = P(X < x) =
0 khi x < 0,
1/15 khi 0 ≤ x < 1,
5/15 = 1/3 khi 1 ≤ x < 2,
1 khi x ≥ 2.
Câu 4.
Để tính xác suất , ta cần tính xác suất của hai biến cố độc lập: và .
1. Tính xác suất của biến cố :
Biến cố tương đương với biến cố nhận giá trị trong tập . Theo bảng phân phối xác suất, ta có:
Do đó, xác suất của biến cố là:
2. Tính xác suất của biến cố :
Theo bảng phân phối xác suất, ta có:
3. Tính xác suất của biến cố :
Vì hai biến cố và xung khắc (tức là chúng không thể xảy ra đồng thời), nên xác suất của hợp hai biến cố này bằng tổng xác suất của mỗi biến cố:
Vậy, .
Câu 5.
Giá trị kỳ vọng của X, ký hiệu là E(X), được tính bằng công thức:
E(X) = Σ [x * P(X = x)]
Ở đây, x là các giá trị của X, và P(X = x) là xác suất của X nhận giá trị x.
Áp dụng công thức này vào bảng phân phối xác suất đã cho, ta có:
E(X) = 1 * 0,15 + 2 * 0,25 + 3 * 0,40 + 4 * 0,20
= 0,15 + 0,50 + 1,20 + 0,80
= 2,65
Vậy giá trị kỳ vọng của X là 2,65.
Câu 6.
Để tính phương sai của X, chúng ta cần tính kỳ vọng toán E(X) và kỳ vọng toán bình phương E(X^2).
Kỳ vọng toán E(X) được tính bằng công thức:
E(X) = Σ [x * P(x)] = 1*0,15 + 2*0,25 + 3*0,40 + 4*0,20 = 0,15 + 0,50 + 1,20 + 0,80 = 2,65
Kỳ vọng toán bình phương E(X^2) được tính bằng công thức:
E(X^2) = Σ [x^2 * P(x)] = 1^2*0,15 + 2^2*0,25 + 3^2*0,40 + 4^2*0,20 = 0,15 + 1,00 + 3,60 + 3,20 = 7,95
Phương sai Var(X) được tính bằng công thức:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 7,95 - (2,65)^2 = 7,95 - 7,0225 = 0,9275
Vậy, giá trị phương sai của X là 0,9275.
Câu 7.
Đầu tiên, ta cần tìm giá trị của k. Vì tổng xác suất phải bằng 1, nên ta có:
Giải phương trình này, ta được:
Bây giờ, ta có thể tính kỳ vọng E(X) bằng cách nhân mỗi giá trị của X với xác suất tương ứng và cộng tất cả lại:
Vậy kỳ vọng của X là 0.3.
Câu 8.
Đầu tiên, ta cần tìm giá trị của k. Theo định nghĩa của bảng phân phối xác suất, tổng các xác suất phải bằng 1. Nên ta có:
Giải phương trình này, ta được:
Bây giờ, ta cần tính xác suất . Để làm điều này, ta cần tính xác suất của các giá trị của X nhỏ hơn hoặc bằng . Như vậy, ta cần tính .
Áp dụng bảng phân phối xác suất, ta có:
Vậy,
Câu 9.
Đầu tiên, ta kiểm tra xem các xác suất có thỏa mãn điều kiện của hàm xác suất không. Với , ta có:
Ta thấy rằng tổng của các xác suất này bằng 1:
Vậy các xác suất thỏa mãn điều kiện của hàm xác suất.
Tiếp theo, ta tính xác suất trong một giờ có từ 2 đến 4 người vào cửa hàng:
Vậy xác suất trong một giờ có từ 2 đến 4 người vào cửa hàng là .
Câu 10.
Đầu tiên, ta cần kiểm tra xem các xác suất đã cho có thỏa mãn điều kiện tổng bằng 1 hay không.
Ta có:
Tổng các xác suất này là:
Vậy các xác suất đã cho thỏa mãn điều kiện tổng bằng 1.
Số khách trung bình đến cửa hàng trong 1 giờ được tính bằng kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X, được tính theo công thức:
Thay các giá trị vào ta được:
Vậy số khách trung bình đến cửa hàng trong 1 giờ là 2.8.