Cho a + b + c khác 0; x, y, z khác -2024 thỏa mãn 2024a= by+cz; 2024b = ax+cz; 2024c = ax + by. Tính giá trị biểu thức A = 1/x+2024 + 1/y+2024 + 1/z+2024.

Từ hệ phương trình đã cho, ta có thể cộng các phương trình lại với nhau để được: \[2024(a + b + c) = (ax + by + cz) + (by + cz + ax) + (cz + ax + by) = 2(ax + by + cz).\] Suy ra $2024(a + b + c) = 2(ax + by + cz)$, do đó $ax + by + cz = 1012(a + b + c)$. Từ đây, ta có thể thấy rằng $x = y = z = -2024$ không thỏa mãn hệ phương trình đã cho. Bây giờ, ta sẽ tính giá trị của biểu thức A. \[A = \frac{1}{x + 2024} + \frac{1}{y + 2024} + \frac{1}{z + 2024} = \frac{1}{-2024 + x} + \frac{1}{-2024 + y} + \frac{1}{-2024 + z}.\] Thay $x + y + z = -1012(a + b + c)$ vào, ta được: \[A = \frac{1}{-2024 + x} + \frac{1}{-2024 + y} + \frac{1}{-2024 + z} = \frac{1}{-2024 + (-1012(a + b + c) + x)} = \frac{1}{-1012(a + b + c)}.\] Vậy giá trị của biểu thức A là $\frac{1}{-1012(a + b + c)}$.