tìm n số nguyên dương đề n^2 -6n+12 là số chính phương

$\displaystyle n^{2} -6n+12$ là số chính phương nên đặt $\displaystyle n^{2} -6n+12=k^{2} \ ( k\in Z)$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\left( n^{2} -6n+9\right) +3=k^{2}\\
( n-3)^{2} -k^{2} =-3\\
( n-3-k)( n-3+k) =-3
\end{array}$
Vì n,k là số nguyên nên $\displaystyle n-3-k;n-3+k$ phải là số nguyên 
Do đó có các TH sau xảy ra: 
TH1: $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l}
n-3-k=-3 & \\
n-3+k=1 & 
\end{array} \right.$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\left[ \begin{array}{l l}
2k=4 & \\
n-3+k=1 & 
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l l}
k=2 & \\
n-3+2=1 & 
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l l}
k=2 & \\
n=2 & 
\end{array} \right.
\end{array}$
TH2:  $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l}
n-3-k=-1 & \\
n-3+k=3 & 
\end{array} \right.$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\left[ \begin{array}{l l}
2k=4 & \\
n-3+k=3 & 
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l l}
k=2 & \\
n-3+2=3 & 
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l l}
k=2 & \\
n=4 & 
\end{array} \right.
\end{array}$
TH3:  $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l}
n-3-k=3 & \\
n-3+k=-1 & 
\end{array} \right.$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\left[ \begin{array}{l l}
2k=-4 & \\
n-3+k=-1 & 
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l l}
k=-2 & \\
n-3-2=-1 & 
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l l}
k=-2 & \\
n=4 & 
\end{array} \right.
\end{array}$
TH4:  $\displaystyle \left[ \begin{array}{l l}
n-3-k=1 & \\
n-3+k=-3 & 
\end{array} \right.$
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\left[ \begin{array}{l l}
2k=-4 & \\
n-3+k=-3 & 
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l l}
k=-2 & \\
n-3-2=-3 & 
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l l}
k=-2 & \\
n=2 & 
\end{array} \right.
\end{array}$
Vậy $\displaystyle n=2;n=4$ thỏa mãn yêu cầu đề bài