Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có A= 120 độ , phân giác góc D đi qua trung điểm của cạnh AB. Gọi E là trung điểm của CD. Chứng minh: a) AB=2 AD 2 b)tam giácADE đều, AEC cân c) AC vuông góc AD

Question

Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có A= 120 độ , phân giác góc D đi qua trung điểm của cạnh AB. Gọi E là trung điểm của CD. Chứng minh: a) AB=2 AD  2 b)tam giácADE đều, AEC cân c) AC vuông góc AD

Mèo Đenhg1 · Accepted Answer

a) Hình bình hành ABCD có$\displaystyle \ \widehat{BAD} ,\widehat{ADC} \ $ở vị trí trong cùng phía.
Suy ra $\displaystyle \widehat{ADC} =180^{0} −\widehat{BAD} =60^{0}$
Khi đó $\displaystyle \widehat{ADI} =\widehat{IDC} =\frac{\widehat{ADC}}{2} =30^{0}$ (do DI là tia phân giác của $\displaystyle \widehat{ADC}$)
Mà $\displaystyle \widehat{AID} =\widehat{IDC}$ (cặp góc so le trong).
Vì vậy $\displaystyle \widehat{AID} =\widehat{ADI}$
Suy ra tam giác ADI cân tại A.
Do đó AD = AI.
Mà AB = 2AI (I là trung điểm của AB).
Vậy AB = 2AD (điều phải chứng minh).
b) Gọi J là trung điểm của DI.
Tam giác ADI có AJ là đường trung tuyến.
Suy ra AJ vừa là đường phân giác, vừa là đường cao của tam giác ADI
Khi đó $\displaystyle \widehat{JAI} =\widehat{DAJ} =\widehat{DAI} =60^{0}$
Xét $\displaystyle \Delta $AJD và $\displaystyle \Delta $DHA, có:
$\displaystyle \widehat{AJD} =\widehat{DHA} =90^{0}$
AD là cạnh chung;
$\displaystyle \widehat{DAJ} =\widehat{ADH} =60^{0}$
Do đó $\displaystyle \Delta $AJD = $\displaystyle \Delta $DHA (cạnh huyền – góc nhọn).
Suy ra DJ = AH (cặp cạnh tương ứng).
Mà DI = 2DJ (J là trung điểm của DI).
Vậy DI = 2AH (điều phải chứng minh).
c) Ta có BI = BC ($\displaystyle =\frac{1}{2} AB$)
Suy ra tam giác IBC cân tại B.
Mà $\displaystyle \widehat{IBC} =\widehat{ADC} =60^{0}$
Do đó tam giác IBC đều
Vì vậy IC = IB = IA
Khi đó tam giác ABC vuông tại C hay $\displaystyle \widehat{ACB} =90^{0}$
Suy ra$\displaystyle \ \widehat{DAC} =\widehat{ACB} =90^{0}$
Vậy $\displaystyle AD\ \bot \ AC$ (điều phải chứng minh).

Timi · Answer

Bài 6:
a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB song song với CD. Do đó, góc A bằng góc C (vì các cặp góc đồng vị bằng nhau). Vì A = 120 độ nên C = 120 độ.

Gọi M là trung điểm của AB, N là trung điểm của CD. Vì M là trung điểm của AB nên AM = MB = 1/2 AB. Tương tự, vì N là trung điểm của CD nên CN = ND = 1/2 CD.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD. Do đó, AM = MB = 1/2 AB = 1/2 CD = CN = ND.

Vì góc A = 120 độ và phân giác góc D đi qua trung điểm của AB nên góc D = 60 độ. Vì ABCD là hình bình hành nên góc D = góc B = 60 độ.

Vì góc B = 60 độ và góc C = 120 độ nên góc A = góc D = 60 độ.

Vì góc A = góc D = 60 độ nên tam giác ADE là tam giác đều (vì có ba góc bằng nhau).

Vì tam giác ADE là tam giác đều nên AD = DE. Vì E là trung điểm của CD nên DE = 1/2 CD. Do đó, AD = 1/2 CD.

Vì AB = CD nên AB = 2 AD.

b) Vì tam giác ADE là tam giác đều nên góc AED = 60 độ. Vì ABCD là hình bình hành nên góc CED = góc AED = 60 độ.

Vì góc CED = 60 độ và góc C = 120 độ nên góc AEC = 120 - 60 = 60 độ.

Vì góc AEC = 60 độ nên tam giác AEC là tam giác cân (vì có hai góc bằng nhau).

c) Vì tam giác ADE là tam giác đều nên góc AED = 60 độ. Vì tam giác AEC là tam giác cân nên góc AEC = (180 - 60) / 2 = 60 độ.

Vì góc AED = góc AEC = 60 độ nên góc AED + góc AEC = 120 độ. Vì góc AED + góc AEC = góc AEDC = 120 độ nên góc ADC = 180 - 120 = 60 độ.

Vì góc ADC = 60 độ và góc A = 120 độ nên góc ADC + góc A = 180 độ. Do đó, AC vuông góc AD.

Vậy, chứng minh được:
a) AB = 2 AD
b) tam giác ADE đều, tam giác AEC cân
c) AC vuông góc AD.