Bài 42. Chứng minh rằng hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng nhau. Bài 43. Tìm hai số tự nhiên biết rằng tổng của chúng là 168, ƯCLN của chúng bằng 12. Bài 44. Tìm hai số tự nhiên biết hiệu của c...

Bài 42. Định nghĩa: Hai số nguyên được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng bằng 1. Định lý: Hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng nhau. Chứng minh: Giả sử hai số tự nhiên liên tiếp là $n$ và $n+1$. Giả sử $d$ là ước chung lớn nhất của $n$ và $n+1$. Khi đó $d$ phải là ước của hiệu của chúng, tức là $d$ là ước của $1$. Nhưng mọi số tự nhiên đều lớn hơn hoặc bằng $1$, nên $d$ chỉ có thể là $1$. Vậy $n$ và $n+1$ nguyên tố cùng nhau. Vậy hai số tự nhiên liên tiếp nguyên tố cùng nhau. Bài 43. Đầu tiên, ta biết rằng nếu hai số tự nhiên a và b có ƯCLN là d thì ta có thể biểu diễn a = d*a' và b = d*b' trong đó a' và b' là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Trong bài toán này, ta biết rằng ƯCLN của hai số là 12, nên ta có thể biểu diễn hai số đó là 12*a' và 12*b' trong đó a' và b' là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Ta cũng biết rằng tổng của hai số này là 168, nên ta có phương trình: 12*a' + 12*b' = 168 hay a' + b' = 14. Vì a' và b' là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau và có tổng là 14, các cặp số (a', b') thỏa mãn là (1, 13) và (13, 1). Nếu (a', b') = (1, 13) thì a = 12*1 = 12 và b = 12*13 = 156. Nếu (a', b') = (13, 1) thì a = 12*13 = 156 và b = 12*1 = 12. Tuy nhiên, theo yêu cầu của bài toán, ta cần tìm hai số tự nhiên, nên ta loại trường hợp (a', b') = (1, 13) vì trong trường hợp này số lớn hơn là 156, không thỏa mãn điều kiện số lớn hơn không vượt quá 168/2 = 84. Vậy hai số tự nhiên cần tìm là 12 và 156. Bài 44. Đầu tiên, ta biết rằng hai số tự nhiên có ƯCLN là 56 thì chúng đều chia hết cho 56. Gọi hai số đó là $a$ và $b$ (với $a > b$), ta có: $a = 56m$ và $b = 56n$ với $m > n$ và $(m, n) = 1$. Theo bài ra, hiệu của chúng là 168 nên: $a - b = 56m - 56n = 56(m - n) = 168$. Suy ra $m - n = 3$. Vì $(m, n) = 1$ nên $m = 4$ và $n = 1$. Vậy $a = 56 \cdot 4 = 224$ và $b = 56 \cdot 1 = 56$. Nhưng $a$ và $b$ phải nằm trong khoảng từ 600 đến 800, nên cả hai số này đều không thỏa mãn. Ta thử với $m = 5$ và $n = 2$, ta có: $a = 56 \cdot 5 = 280$ và $b = 56 \cdot 2 = 112$. Cả hai số này đều thỏa mãn điều kiện nằm trong khoảng từ 600 đến 800. Vậy hai số tự nhiên cần tìm là $280$ và $112$. Bài 45. Để chứng minh 3n + 1 và 4n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau, ta cần chứng minh ƯCLN(3n + 1, 4n + 1) = 1. Giả sử d là ước chung lớn nhất của 3n + 1 và 4n + 1, tức là d | (3n + 1) và d | (4n + 1). Khi đó, d cũng là ước của hiệu (4n + 1) - (3n + 1) = n, tức là d | n. Mặt khác, d cũng là ước của 3(4n + 1) - 4(3n + 1) = 3n + 1 - 4n - 4 = -3, tức là d | -3. Vì n là số tự nhiên nên d chỉ có thể là 1. Do đó, ƯCLN(3n + 1, 4n + 1) = 1. Vậy 3n + 1 và 4n + 1 là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 46. Để tìm ƯCLN (4n + 3, 5n + 2), ta cần nhận thấy rằng 4n + 3 và 5n + 2 không nguyên tố cùng nhau. Nếu chúng nguyên tố cùng nhau, thì ƯCLN của chúng sẽ là 1. Tuy nhiên, từ giả thiết, chúng không nguyên tố cùng nhau, nghĩa là chúng có một ước chung lớn hơn 1. Giả sử d là ước chung lớn nhất của 4n + 3 và 5n + 2. Khi đó, d cũng là ước của hiệu của hai biểu thức này, tức là d là ước của (5n + 2) - (4n + 3) = n - 1. Do đó, nếu d là ước của n - 1 thì d cũng là ước của 4(n - 1) + 7 = 4n + 3 và 5(n - 1) + 7 = 5n + 2. Vậy ƯCLN (4n + 3, 5n + 2) là ước của n - 1. Tuy nhiên, nếu n - 1 = 1 thì n = 2, khi đó 4n + 3 = 11 và 5n + 2 = 12, hai số này nguyên tố cùng nhau, trái với giả thiết. Vậy n - 1 phải là ước chung của 4n + 3 và 5n + 2, nhưng n - 1 không thể là ước của cả hai số này. Do đó, n - 1 phải là ước chung lớn nhất của 4n + 3 và 5n + 2. Vậy ƯCLN (4n + 3, 5n + 2) = n - 1. Bài 47. Đầu tiên, ta cần tìm một số thỏa mãn các điều kiện sau: - Số đó nằm trong khoảng từ 1200 đến 1400. - Khi chia số đó cho 12, 16, 18 đều dư 2. Gọi số học sinh của trường là $x$. Theo đề bài, ta có: - $x$ chia cho 12 dư 2, nên $x - 2$ chia hết cho 12. - $x$ chia cho 16 dư 2, nên $x - 2$ chia hết cho 16. - $x$ chia cho 18 dư 2, nên $x - 2$ chia hết cho 18. Do đó, $x - 2$ là bội chung của 12, 16, 18. Ta tìm BCNN(12, 16, 18) = 144. Tìm bội của 144 trong khoảng từ 1200 đến 1400, ta thấy chỉ có $1440 - 2 = 1438$ thỏa mãn. Vậy số học sinh của trường là 1438. Bài 48. Đầu tiên, chúng ta cần tìm một số thỏa mãn các điều kiện: - Chia cho 8 dư 7 - Chia cho 9 dư 8 - Chia cho 12 dư 11 Gọi số cam là $x$. Theo đề bài, ta có: - $x \equiv 7 \pmod{8}$ - $x \equiv 8 \pmod{9}$ - $x \equiv 11 \pmod{12}$ Từ đó, ta có thể tìm ra một số thỏa mãn các điều kiện này bằng cách liệt kê các số từ 200 đến 250 và kiểm tra xem số nào thỏa mãn cả 3 điều kiện. - Với 200: $200 \div 8$ dư $0$, $200 \div 9$ dư $1$, $200 \div 12$ dư $4$ nên 200 không thỏa mãn. - Với 201: $201 \div 8$ dư $5$, $201 \div 9$ dư $6$, $201 \div 12$ dư $9$ nên 201 không thỏa mãn. - Với 202: $202 \div 8$ dư $6$, $202 \div 9$ dư $7$, $202 \div 12$ dư $10$ nên 202 không thỏa mãn. - Với 203: $203 \div 8$ dư $7$, $203 \div 9$ dư $8$, $203 \div 12$ dư $11$ nên 203 thỏa mãn. Vậy số cam là 203. Bài 49. Để tìm năm của sự kiện, chúng ta cần tìm một số nguyên dương $n$ thỏa mãn cả ba điều kiện sau: 1. $n$ chia hết cho 2, tức là $n$ là số chẵn. 2. $n$ chia cho 5 dư 3, tức là $n$ có thể viết dưới dạng $n = 5k + 3$ với $k$ là một số nguyên. 3. $n$ chia cho 47 dư 45, tức là $n$ có thể viết dưới dạng $n = 47m + 45$ với $m$ là một số nguyên. Từ điều kiện 2 và 3, ta có thể thấy rằng $n$ có thể viết dưới dạng $n = 235p + 240$ với $p$ là một số nguyên (vì $5k + 3 = 47m + 45$ thì $k = 47q + 8$ và $m = 5q + 6$ với $q$ là một số nguyên, thay vào $n = 5k + 3$ hoặc $n = 47m + 45$ đều được $n = 235p + 240$). Vì $n$ là số chẵn, nên $235p + 240$ cũng phải là số chẵn. Điều này chỉ xảy ra khi $p$ là số chẵn. Đặt $p = 2q$ với $q$ là một số nguyên, ta có $n = 235 \cdot 2q + 240 = 470q + 240$. Vì $n$ là năm của sự kiện, nên nó phải là một số dương và không thể vượt quá 1000 (vì đây là thế kỷ X, nên năm đó không thể vượt quá năm 999). Thử với $q = 0$, ta được $n = 240$, thỏa mãn cả ba điều kiện. Thử với $q = 1$, ta được $n = 710$, không thỏa mãn điều kiện 1 (vì 710 không phải là số chẵn). Vậy năm của sự kiện là 240. Bài 50. Đầu tiên, ta biết rằng tích của hai số tự nhiên là 1440 và BCNN của chúng là 240. Gọi hai số tự nhiên đó là a và b (a ≤ b). Theo tính chất của số tự nhiên, ta có: a * b = 1440 và BCNN(a, b) = 240. Mặt khác, ta có: BCNN(a, b) = (a * b) / GCD(a, b), trong đó GCD(a, b) là ước số chung lớn nhất của a và b. Từ đó, ta có: GCD(a, b) = (a * b) / BCNN(a, b) = 1440 / 240 = 6. Bây giờ, ta cần tìm hai số tự nhiên a và b sao cho a * b = 1440 và GCD(a, b) = 6. Ta có thể thử với các cặp số (a, b) thỏa mãn a * b = 1440 và GCD(a, b) = 6. Ta thấy rằng cặp số (12, 120) thỏa mãn vì 12 * 120 = 1440 và GCD(12, 120) = 6. Vậy, hai số tự nhiên cần tìm là 12 và 120. Bài 51. Để tìm hai số biết BCNN của chúng là 144 và ƯCLN của chúng là 24, ta có thể sử dụng công thức liên hệ giữa BCNN, ƯCLN và tích của hai số nguyên dương a và b. Công thức này là: BCNN(a, b) * ƯCLN(a, b) = a * b. Theo công thức này, nếu gọi hai số cần tìm là a và b, ta có: a * b = BCNN(a, b) * ƯCLN(a, b) = 144 * 24 = 3456. Ngoài ra, theo tính chất của ƯCLN và BCNN, ta có: ƯCLN(a, b) = 24 và BCNN(a, b) = 144. Từ đó, ta có thể tìm được a và b bằng cách phân tích 3456 ra thừa số nguyên tố và tìm các ước của 3456 sao cho tích của chúng bằng 3456 và ƯCLN của chúng bằng 24. Phân tích 3456 ra thừa số nguyên tố, ta được: 3456 = 2^7 * 3^3. Tìm các ước của 3456, ta thấy các ước của 3456 là các tích của các lũy thừa của 2 và 3, với số mũ không vượt quá 7 và 3 tương ứng. Ta thấy rằng, nếu chọn a = 2^4 * 3^2 = 144 và b = 2^3 * 3 = 24 thì a * b = 3456 và ƯCLN(a, b) = 24. Vậy hai số cần tìm là 144 và 24. Bài 52. Để tìm bội chung nhỏ nhất của 12 và 18, ta phân tích 12 và 18 ra thừa số nguyên tố: $12 = 2^2 \cdot 3$ $18 = 2 \cdot 3^2$ Bội chung nhỏ nhất là tích các thừa số nguyên tố chung và riêng, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất: BCNN(12, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$ Vậy sau 36 ngày, cả hai tàu lại cùng cập bến vào ngày thứ năm. Tuy nhiên, chúng đã cập bến vào ngày thứ năm lần đầu sau 36 ngày kể từ ngày lần đầu cùng cập bến. Vậy sau ít nhất 36 ngày, cả hai tàu lại cùng cập bến vào ngày thứ năm. Bài 53. a) (x - 50) : 45 + 240 = 300 Đầu tiên, ta lấy 300 - 240 = 60. Sau đó, ta có (x - 50) : 45 = 60. Tiếp theo, ta nhân 2 vế với 45, ta được x - 50 = 60 * 45 = 2700. Cuối cùng, ta cộng 50 vào 2 vế, ta được x = 2700 + 50 = 2750. Vậy x = 2750. b) 7200 : [200 + (33 600 : x) - 500] = 4 Đầu tiên, ta nhân 2 vế với [200 + (33 600 : x) - 500], ta được 7200 = 4 * [200 + (33 600 : x) - 500]. Tiếp theo, ta thu gọn vế phải, ta được 7200 = 800 + (134 400 : x) - 2000. Sau đó, ta chuyển -2000 sang vế trái, ta được 7200 + 2000 = (134 400 : x) + 800. Tiếp tục, ta thu gọn vế trái, ta được 9200 = (134 400 : x) + 800. Sau đó, ta lấy 9200 - 800 = 8400. Tiếp theo, ta có 134 400 : x = 8400. Cuối cùng, ta chia 2 vế cho 8400, ta được x = 134 400 : 8400 = 16. Vậy x = 16. Bài 54. Đầu tiên, chúng ta cần xác định số nguyên tố lẻ lớn nhất có một chữ số. Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó. Trong các số có một chữ số, số nguyên tố lẻ lớn nhất là 7. Tiếp theo, chúng ta cần tìm số có 3 chữ số, biết rằng số đó chi hết cho 3 và 5. Một số chia hết cho 3 và 5 khi và chỉ khi nó chia hết cho 15. Vậy số cần tìm có dạng $\overline{7xy}$, trong đó $x, y$ là các chữ số và $\overline{7xy}$ chia hết cho 15. Một số chia hết cho 15 khi và chỉ khi nó chia hết cho 3 và 5. Một số chia hết cho 3 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3. Một số chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5. Vậy $y$ chỉ có thể là 0 hoặc 5. Nếu $y = 0$, thì $\overline{7xy} = 7x0$, và tổng các chữ số là $7 + x + 0 = 7 + x$. Để $7 + x$ chia hết cho 3, $x$ phải là 2 hoặc 5. Nhưng $x$ không thể là 5 vì $y$ không thể là 0. Vậy $x = 2$. Nếu $y = 5$, thì $\overline{7xy} = 7x5$, và tổng các chữ số là $7 + x + 5 = 12 + x$. Để $12 + x$ chia hết cho 3, $x$ phải là 0 hoặc 3. Nhưng $x$ không thể là 0 vì $y$ không thể là 5. Vậy $x = 3$. Vậy số cần tìm là 735. Bài 55. Đặt số phần quà là $x$. Số vở thực tế là $156 - 12 = 144$, số giấy thực tế là $184 - 4 = 180$, số bút bi thực tế là $128 - 20 = 108$. Vì mỗi phần quà gồm cả 3 loại nên ta có: $144/x = 180/x = 108/x$. Từ đây, ta có thể rút ra $144 = 180 = 108$. Từ đây, ta có thể tính được $x = \text{ƯCLN}(144, 180, 108)$. Ta có $144 = 2^4 \cdot 3^2$, $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$, $108 = 2^2 \cdot 3^3$. Suy ra $\text{ƯCLN}(144, 180, 108) = 2^2 \cdot 3^2 = 36$. Vậy số phần quà là $36$.