Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, tiếp tuyến Bx tại B (Bx và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là AB). Qua điểm C trên nửa đường tròn (O) (C ≠ A, B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắ...

a) Chứng minh: MB = MC và AB² = AC.AD - Vì MC là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại C nên MC ⊥ CO. Mặt khác, MB ⊥ OB (vì MB là tiếp tuyến của nửa đường tròn tại B). Vì vậy, MB // CO. - Từ đó, ta có ∠MCB = ∠MBC (vì cặp góc so le trong bằng nhau). - Mặt khác, ∠MCB = ∠MBC (vì tam giác MBC cân tại M). - Từ đó, ta có MB = MC. - Xét tam giác ABD và tam giác ACB, ta có: ∠ABD = ∠ACB (vì cùng bằng 90° + ∠CAB/2). ∠ADB = ∠ABC (vì cùng bằng ∠CAB/2). Vậy, tam giác ABD đồng dạng với tam giác ACB (g.g). - Từ đó, ta có AB/AC = AD/AB, hay AB² = AC.AD. b) Kẻ CH ⊥ AB (H∈ AB), gọi I là trung điểm CH. Chứng minh: M là trung điểm của BD và ba điểm A, I, M thẳng hàng. - Vì M là giao điểm của tiếp tuyến MC và tiếp tuyến MB nên theo tính chất của tiếp tuyến, ta có MC = MB. - Từ đó, M là trung điểm của BD. - Vì I là trung điểm của CH nên theo tính chất của đường kính vuông góc với một dây cung, ta có AI ⊥ BD. - Mặt khác, vì MB = MC nên M nằm trên đường trung trực của BC, hay AM ⊥ BD. - Từ đó, ba điểm A, I, M thẳng hàng.