Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a, BC = b . Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó

Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, ta cần chứng minh rằng AD = AB = a, BC = b và AC = BD. Xét tam giác vuông ADC và tam giác vuông BDA, ta có: AD^2 + DC^2 = AC^2 (theo định lý Pytago) AB^2 + DA^2 = BD^2 (theo định lý Pytago) Mà AD = AB = a, DC = BC = b, nên: a^2 + b^2 = AC^2 a^2 + b^2 = BD^2 Suy ra AC^2 = BD^2, do đó AC = BD. Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Tâm của đường tròn là trung điểm của AC và BD, tức là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Bán kính của đường tròn là khoảng cách từ tâm đến bất kỳ đỉnh nào của hình chữ nhật, chẳng hạn như khoảng cách từ tâm đến A, B, C, D. Vì tâm là trung điểm của AC và BD, nên bán kính của đường tròn là một nửa độ dài đường chéo AC hay BD. Theo định lý Pytago, ta có: AC^2 = AD^2 + DC^2 = a^2 + b^2 Suy ra AC = √(a^2 + b^2) / 2. Vậy tâm của đường tròn là trung điểm của AC và BD, bán kính của đường tròn là √(a^2 + b^2) / 2.