a) CMR với mọi số nguyên n thì : (n2-3n +1)(n+2) –n3 +2 chia hết cho 5 b) CMR với mọi số nguyên n thì : (6n + 1)(n+5) –(3n + 5)(2n – 10) chia hết cho 2.

trang anh

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n^2 - 3n + 1)(n + 2) - n^3 + 2 chia hết cho 5

Giải:

Ta có: (n^2 - 3n + 1)(n + 2) - n^3 + 2 = n^3 + 2n^2 - 3n^2 - 6n + n + 2 - n^3 + 2 = -n^2 - 5n + 4

Để chứng minh biểu thức trên chia hết cho 5, ta cần chứng minh -n^2 - 5n + 4 chia hết cho 5.

Ta có: -n^2 - 5n + 4 = -(n^2 + 5n - 4)

Xét các trường hợp của n:

• Nếu n chia hết cho 5: Khi đó, n^2 cũng chia hết cho 5, suy ra -n^2 - 5n + 4 chia hết cho 5.
• Nếu n chia 5 dư 1: Đặt n = 5k + 1 (k ∈ Z). Thay vào biểu thức, ta được: -(5k + 1)^2 - 5(5k + 1) + 4 = -25k^2 - 15k = 5(-5k^2 - 3k) chia hết cho 5.
• Nếu n chia 5 dư 2: Đặt n = 5k + 2 (k ∈ Z). Tương tự, ta cũng chứng minh được biểu thức chia hết cho 5.
• Các trường hợp n chia 5 dư 3 hoặc 4: Chứng minh tương tự.

Kết luận:

Từ các trường hợp trên, ta kết luận rằng với mọi số nguyên n, biểu thức (n^2 - 3n + 1)(n + 2) - n^3 + 2 luôn chia hết cho 5.

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 10) chia hết cho 2

Giải:

Ta có: (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 10) = 6n^2 + 31n + 5 - 6n^2 + 15n + 50 = 46n + 55

Để chứng minh biểu thức trên chia hết cho 2, ta chỉ cần chứng minh 46n chia hết cho 2 (vì 55 không chia hết cho 2).

Vì 46 chia hết cho 2 nên 46n luôn chia hết cho 2 với mọi số nguyên n.

Kết luận:

Vậy với mọi số nguyên n, biểu thức (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 10) luôn chia hết cho 2.