Giúp mình với!

Quy tắc L'Hospital thường được sử dụng để tính giới hạn của các hàm số khi chúng có dạng bất định như $\frac{0}{0}$ hoặc $\frac{\infty}{\infty}$. Tuy nhiên, theo yêu cầu, chúng ta chỉ sử dụng kiến thức phù hợp với học sinh trung học phổ thông, do đó, quy tắc L'Hospital không nằm trong phạm vi này. Thay vào đó, tôi sẽ giải thích cách tiếp cận vấn đề giới hạn dạng $\frac{0}{0}$ bằng các phương pháp phù hợp với học sinh THPT. Phương pháp giải giới hạn dạng $\frac{0}{0}$ 1. Phân tích đa thức: Nếu cả tử và mẫu đều là đa thức, ta có thể phân tích đa thức thành nhân tử để loại bỏ nhân tử chung gây ra dạng $\frac{0}{0}$. 2. Sử dụng các giới hạn cơ bản: Sử dụng các giới hạn đã biết như $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ hoặc $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$. 3. Thay đổi biến: Đôi khi việc thay đổi biến số có thể giúp đơn giản hóa biểu thức. 4. Hàm số lượng giác: Đối với hàm số lượng giác, sử dụng các công thức lượng giác cơ bản để đơn giản hóa biểu thức. Ví dụ cụ thể Giả sử ta cần tính giới hạn: $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): $x \neq 1$. Bước 2: Phân tích đa thức: $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1}$ Bước 3: Loại bỏ nhân tử chung $(x - 1)$: $= x + 1$ Bước 4: Tính giới hạn: $\lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$ Kết luận: Giới hạn của $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ khi $x$ tiến đến 1 là 2. Trên đây là cách tiếp cận phù hợp với học sinh THPT để giải quyết giới hạn dạng $\frac{0}{0}$ mà không sử dụng quy tắc L'Hospital. Ví dụ 4. Chúng ta sẽ giải từng giới hạn một theo yêu cầu: a) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^3 - x^2 - x - 2}$ Bước 1: Phân tích đa thức tử và mẫu. Tử số: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ Mẫu số: $x^3 - x^2 - x - 2 = (x - 2)(x^2 + x + 1)$ Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu. $\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 2)(x^2 + x + 1)}$ Bước 3: Rút gọn biểu thức. $\lim_{x \to 2} \frac{x - 3}{x^2 + x + 1}$ Bước 4: Thay $x = 2$ vào biểu thức đã rút gọn. $\frac{2 - 3}{2^2 + 2 + 1} = \frac{-1}{7}$ Kết luận: $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^3 - x^2 - x - 2} = -\frac{1}{7}$ b) $\lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{4 - x^2}}{\sqrt{x^2 + 9} - 3}$ Bước 1: Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu. $\lim_{x \to 0} \frac{(2 - \sqrt{4 - x^2})(\sqrt{x^2 + 9} + 3)}{(\sqrt{x^2 + 9} - 3)(\sqrt{x^2 + 9} + 3)}$ Bước 2: Tính biểu thức mẫu. $(\sqrt{x^2 + 9} - 3)(\sqrt{x^2 + 9} + 3) = (x^2 + 9) - 9 = x^2$ Bước 3: Tính biểu thức tử. $(2 - \sqrt{4 - x^2})(\sqrt{x^2 + 9} + 3) = (2 - \sqrt{4 - x^2})(\sqrt{x^2 + 9} + 3)$ Bước 4: Thay $x = 0$ vào biểu thức. $\lim_{x \to 0} \frac{(2 - \sqrt{4 - x^2})(\sqrt{x^2 + 9} + 3)}{x^2} = \frac{(2 - 2)(3 + 3)}{0} = 0$ Kết luận: $\lim_{x \to 0} \frac{2 - \sqrt{4 - x^2}}{\sqrt{x^2 + 9} - 3} = 0$ c) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$ Bước 1: Sử dụng định lý giới hạn cơ bản. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ Kết luận: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ d) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^3}$ Bước 1: Sử dụng định lý L'Hôpital (do giới hạn có dạng $\frac{0}{0}$). $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{3x^2}$ Bước 2: Áp dụng định lý L'Hôpital lần nữa. $\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{6} = \frac{1}{6}$ Kết luận: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^3} = \frac{1}{6}$ e) $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3}$ Bước 1: Sử dụng định lý L'Hôpital (do giới hạn có dạng $\frac{0}{0}$). $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2}$ Bước 2: Áp dụng định lý L'Hôpital lần nữa. $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$ Kết luận: $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6}$ f) $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{\arctan^2 x + 2x^2}$ Bước 1: Sử dụng định lý L'Hôpital (do giới hạn có dạng $\frac{0}{0}$). $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{\arctan^2 x + 2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-\sin x}{\cos x}}{2\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} + 4x}$ Bước 2: Tính giới hạn. $\lim_{x \to 0} \frac{-\tan x}{2\arctan x \cdot \frac{1}{1+x^2} + 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{2x + 4x} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{6x} = -\frac{1}{6}$ Kết luận: $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{\arctan^2 x + 2x^2} = -\frac{1}{6}$