Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2=12 và a+b+c=6 .Hãy tính giá trị của các biểu thức S=ab+bc+ca và T=a^10 +b^10+c^10

Đầu tiên, ta có thể tính giá trị của S bằng cách sử dụng công thức (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca). Thay a+b+c = 6 và a^2 + b^2 + c^2 = 12 vào công thức trên, ta được: 6^2 = 12 + 2S 36 = 12 + 2S 24 = 2S S = 12. Vậy S = 12. Tiếp theo, để tính giá trị của T, ta có thể sử dụng công thức (a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2) + 6abc. Ta đã có S = ab + bc + ca = 12, và a+b+c = 6. Từ a^2 + b^2 + c^2 = 12, ta có thể tính được abc bằng cách sử dụng công thức (a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) - 3abc. Thay a+b+c = 6, a^2 + b^2 + c^2 = 12, và S = 12 vào công thức trên, ta được: 6^2 = 12 + 2*12 - 3abc 36 = 36 - 3abc 3abc = 0 abc = 0. Vậy abc = 0. Bây giờ, ta có thể tính T = a^10 + b^10 + c^10 bằng cách sử dụng công thức (a+b+c)^5 = a^5 + b^5 + c^5 + 5(a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^4c + b^3c^2 + b^2c^3 + bc^4 + c^4a + c^3a^2 + c^2a^3 + ca^4) + 10(a^3bc + ab^3c + abc^3 + a^2b^2c + a^2bc^2 + ab^2c^2). Ta đã có abc = 0, S = 12, và a+b+c = 6. Từ a^2 + b^2 + c^2 = 12, ta có thể tính được a^3b + a^2b^2 + ab^3, a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4, a^3bc + ab^3c + abc^3, a^2b^2c + a^2bc^2 + ab^2c^2 bằng cách sử dụng các công thức tương ứng. Thay các giá trị này vào công thức trên, ta được: T = a^10 + b^10 + c^10 = (a+b+c)^5 - 5(a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^4c + b^3c^2 + b^2c^3 + bc^4 + c^4a + c^3a^2 + c^2a^3 + ca^4) - 10(a^3bc + ab^3c + abc^3 + a^2b^2c + a^2bc^2 + ab^2c^2) T = 6^5 - 5(S) - 10(0) T = 7776 - 30 T = 7746. Vậy T = 7746.