Tiệm cận đứng , tiệm cận xiêm , tiệm cận ngang

Để tìm tiệm cận của đồ thị hàm số, ta cần tìm các giới hạn của hàm số khi x tiến tới các điểm gây ra vô định và các giới hạn tại vô cực. 1. Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty$ hoặc $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm \infty$ hoặc $\lim_{x \to a} f(x) = \pm \infty$. Đối với hàm số này, ta thấy rằng không có giá trị nào của x làm cho mẫu số bằng 0, do đó không có tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = b$. Đối với hàm số này, ta có: $\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x} = 0$. Do đó, đường thẳng y = 0 (trục hoành) là tiệm cận ngang. 3. Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $\lim_{x \to \pm \infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$. Đối với hàm số này, ta thấy rằng nó không có tiệm cận xiên vì không có dạng như vậy. Tóm lại, đồ thị hàm số này chỉ có 1 đường tiệm cận là tiệm cận ngang y = 0. Đáp án: B. 1. Câu 21. Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+3x}{x-2}$, ta cần tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới vô cực. $\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+3x}{x-2}=\lim_{x\to\infty}\frac{x(x+3)}{x-2}= \lim_{x\to\infty}\frac{x+3-5}{1}=\infty$ Vì vậy, đồ thị hàm số có tiệm cận xiên. Để tìm phương trình tiệm cận xiên, ta chia tử số cho mẫu số: $y=\frac{x^2+3x}{x-2}=x+5+\frac{10}{x-2}$ Khi $x$ tiến tới vô cực, thì $\frac{10}{x-2}$ tiến tới $0$. Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y=x+5$. Vậy đáp án là $B$. Đáp án: B Câu 22. Để tìm tiệm cận đứng, ta tìm những giá trị của x làm cho mẫu số bằng 0, nhưng tử số khác 0. Đặt mẫu số bằng 0, ta có: $4 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2$. Tại $x = 2$, tử số $2^2 - 3*2 + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$. Tại $x = -2$, tử số $(-2)^2 - 3*(-2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12 \neq 0$. Vậy $x = 2$ là nghiệm của mẫu số nhưng không là nghiệm của tử số, nên $x = 2$ là tiệm cận đứng. Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới vô cực: $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2-3x+2}{4-x^2} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{-\left(1 - \frac{4}{x^2}\right)} = -1$. $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^2-3x+2}{4-x^2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2}}{-\left(1 - \frac{4}{x^2}\right)} = -1$. Vậy $y = -1$ là tiệm cận ngang. Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 2. Đáp án: A. Câu 23. Để tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2-x+2}{x+1}$, ta cần tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới vô cực. Giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới vô cực là: $\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-x+2}{x+1}.$ Chia tử số và mẫu số cho $x$, ta được: $\lim_{x\to\infty}\frac{x-1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{\infty - 1 + 0}{1 + 0} = \infty.$ Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên. Để tìm phương trình tiệm cận xiên, ta tính giới hạn sau: $\lim_{x\to\infty}\left(y - x\right) = \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2-x+2}{x+1} - x\right).$ Rút gọn biểu thức trong giới hạn, ta được: $\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2-x+2}{x+1} - x\right) = \lim_{x\to\infty}\frac{-2}{x+1} = 0.$ Vậy $\lim_{x\to\infty}\left(y - x\right) = 0$, tức là đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là $y = x$. Vậy đáp án là A. $y=x$. Đáp án: A Câu 24. Đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận khi và chỉ khi nó có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang. Tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là $m^2 - 2x + 3 = 0$. Đây là một phương trình bậc hai theo $x$, nên nó có nghiệm khi và chỉ khi biệt thức $\Delta = (-2)^2 - 4(m^2 - 3) \geq 0$, hay $4 - 4m^2 + 12 \geq 0$, tương đương với $16 - 4m^2 \geq 0$, hay $m^2 \leq 4$. Điều này tương đương với $-2 \leq m \leq 2$. Tiệm cận ngang xảy ra khi bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số, tức là bậc của tử số là 1, bậc của mẫu số là 2. Điều này luôn đúng với hàm số đã cho. Vậy để đồ thị hàm số có đúng hai đường tiệm cận, ta cần có $-2 < m < 2$. Như vậy, có 3 giá trị m thỏa mãn điều kiện trên, đó là $-1, 0, 1$. Vậy có 3 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Đáp án: D. Câu 1. a) Hàm số đồng biến trên R. Nhìn vào đồ thị, ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$, nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$. Do đó, hàm số không đồng biến trên R. Khẳng định này là Sai. b) Đồ thị hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận. Nhìn vào đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận: đường tiệm cận đứng là $x=-1$ và đường tiệm cận ngang là $y=1$. Khẳng định này là Đúng. c) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=-1$. Như đã nói ở trên, đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=-1$. Khẳng định này là Đúng. d) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=-1$. Như đã nói ở trên, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=1$. Khẳng định này là Sai. Vậy, các khẳng định a), c) và b) là Đúng, khẳng định d) là Sai. Câu 2. Hàm số $y=f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Từ đồ thị, ta có thể suy ra các tính chất sau: 1. Hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên tập số thực $\mathbb{R}$. 2. Hàm số $y=f(x)$ có ba điểm cực trị, đó là $x=-1$, $x=0$ và $x=1$. 3. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x=0$, với giá trị cực đại $f(0)=1$. 4. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=-1$ và $x=1$, với giá trị cực tiểu $f(-1)=f(1)=0$. 5. Hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên các khoảng $(-\infty, -1)$ và $(0, 1)$, nghịch biến trên các khoảng $(-1, 0)$ và $(1, +\infty)$. 6. Hàm số $y=f(x)$ có giá trị lớn nhất bằng $1$ và giá trị nhỏ nhất bằng $0$. 7. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ cắt trục tung tại điểm $(0, 1)$ và cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$, đó là $x=-1$, $x=0$ và $x=1$. 8. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ nhận trục tung làm trục đối xứng. 9. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có hai điểm uốn, đó là $x=-1$ và $x=1$. 10. Đồ thị hàm số $y=f(x)$ có dạng như một chữ 'W' khi $x$ nằm trong khoảng $(-\infty, -1)$, có dạng như một chữ 'M' khi $x$ nằm trong khoảng $(-1, 1)$, và có dạng như một chữ 'W' đậy ngược khi $x$ nằm trong khoảng $(1, +\infty)$. Những tính chất này có thể được suy ra từ đồ thị của hàm số $y=f(x)$.