cho A và B là 2 điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số y=$\frac{x^2}{x-1}$ và đối xứng với nhau qua đường thẳng y=x-1. Tính độ dài đoạn thẳng AB

Question

banlanhollywood · Accepted Answer

2 điểm A,B đối xứng với nhau qua d
⟹$\displaystyle AB\bot d$
và I là trung điểm AB thuộc d
$\displaystyle AB\bot d$⟹AB: y=-x+m
hoành độ giao điểm A,B là nghiệm của phương trình
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\frac{x^{2} \ }{x-1} =-x+m\
\Longrightarrow 2x^{2} -( m+1) x+m=0\
\Longrightarrow g( x) =2x^{2} -( m+1) x+m=0
\end{array}$
để tồn tại A,B thì g(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow \Delta >0\
\Longrightarrow ( m+1)^{2} -8m >0\
\Longrightarrow m^{2} -6m+1 >0\
\Longrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
m >3+\sqrt{8\ } & \
m< 3-\sqrt{8} &
\end{array} ight.
\end{array}$
theo viet ta có $\displaystyle \begin{cases}
x_{A} +x_{B} =\frac{m+1\ }{2} & \
x_{A} .x_{B} =\frac{m\ }{2} &
\end{cases}$
gọi I là trung điểm AB
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow \begin{cases}
x_{I} =\frac{x_{A} +x_{B} \ }{2\ } & \
y_{I} =\frac{y_{A} +y_{B} \ }{2} =-x_{I} +m &
\end{cases}\
\Longrightarrow \begin{cases}
x_{I} =\frac{m+1\ }{4\ } & \
y_{I} =\frac{3m-1\ }{4\ \ } &
\end{cases}
\end{array}$
mà I thuộc d ⟹$\displaystyle \frac{3m-1\ }{4\ \ } =\frac{m+1\ }{4\ } -1\Longrightarrow m=-1\ $
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow A\left(\frac{1\ }{\sqrt{2}} ;-1-\frac{1\ }{\sqrt{2}} ight)\
B\left( -\frac{1\ }{\sqrt{2}} ;-1+\frac{1\ }{\sqrt{2}} ight)\
\Longrightarrow AB=2
\end{array}$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định tọa độ của điểm A và B:
   - Giả sử điểm A có tọa độ $(a, \frac{a^2}{a-1})$.
   - Điểm B đối xứng với điểm A qua đường thẳng $y = x - 1$, do đó tọa độ của điểm B sẽ là $(\frac{a^2}{a-1} + 1, a)$.

2. Tìm điều kiện để hai điểm này đối xứng qua đường thẳng $y = x - 1$:
   - Ta có phương trình đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng $y = x - 1$. Đường thẳng này có dạng $y = -x + c$.
   - Trung điểm của đoạn thẳng AB là $\left(\frac{a + \frac{a^2}{a-1} + 1}{2}, \frac{\frac{a^2}{a-1} + a}{2}\right)$.
   - Thay tọa độ trung điểm vào phương trình $y = -x + c$, ta có:
     $$
     \frac{\frac{a^2}{a-1} + a}{2} = -\left(\frac{a + \frac{a^2}{a-1} + 1}{2}\right) + c
     $$
   - Giải phương trình này để tìm $c$.

3. Tính độ dài đoạn thẳng AB:
   - Độ dài đoạn thẳng AB được tính bằng công thức:
     $$
     AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
     $$
   - Thay tọa độ của điểm A và B vào công thức trên.

Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện các bước cụ thể:

1. Xác định tọa độ của điểm A và B:
   - Điểm A: $(a, \frac{a^2}{a-1})$.
   - Điểm B: $(\frac{a^2}{a-1} + 1, a)$.

2. Tìm điều kiện để hai điểm này đối xứng qua đường thẳng $y = x - 1$:
   - Trung điểm của đoạn thẳng AB là:
     $$
     \left(\frac{a + \frac{a^2}{a-1} + 1}{2}, \frac{\frac{a^2}{a-1} + a}{2}\right)
     $$
   - Thay vào phương trình $y = -x + c$:
     $$
     \frac{\frac{a^2}{a-1} + a}{2} = -\left(\frac{a + \frac{a^2}{a-1} + 1}{2}\right) + c
     $$
   - Giải phương trình này để tìm $c$:
     $$
     \frac{\frac{a^2}{a-1} + a}{2} + \frac{a + \frac{a^2}{a-1} + 1}{2} = c
     $$
     $$
     \frac{2 \cdot \frac{a^2}{a-1} + 2a + 1}{2} = c
     $$
     $$
     c = \frac{2 \cdot \frac{a^2}{a-1} + 2a + 1}{2}
     $$

3. Tính độ dài đoạn thẳng AB:
   - Độ dài đoạn thẳng AB:
     $$
     AB = \sqrt{\left(\frac{a^2}{a-1} + 1 - a\right)^2 + \left(a - \frac{a^2}{a-1}\right)^2}
     $$
   - Rút gọn biểu thức:
     $$
     AB = \sqrt{\left(\frac{a^2 + a - 1 - a^2}{a-1}\right)^2 + \left(\frac{a(a-1) - a^2}{a-1}\right)^2}
     $$
     $$
     AB = \sqrt{\left(\frac{a - 1}{a-1}\right)^2 + \left(\frac{-a}{a-1}\right)^2}
     $$
     $$
     AB = \sqrt{1 + \left(\frac{-a}{a-1}\right)^2}
     $$
     $$
     AB = \sqrt{1 + \frac{a^2}{(a-1)^2}}
     $$
     $$
     AB = \sqrt{\frac{(a-1)^2 + a^2}{(a-1)^2}}
     $$
     $$
     AB = \sqrt{\frac{a^2 - 2a + 1 + a^2}{(a-1)^2}}
     $$
     $$
     AB = \sqrt{\frac{2a^2 - 2a + 1}{(a-1)^2}}
     $$
     $$
     AB = \sqrt{\frac{2(a^2 - a + \frac{1}{2})}{(a-1)^2}}
     $$
     $$
     AB = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{a^2 - a + \frac{1}{2}}{(a-1)^2}}
     $$
     $$
     AB = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{(a-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}}{(a-1)^2}}
     $$
     $$
     AB = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{(a-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}}{(a-1)^2}}
     $$
     $$
     AB = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{(a-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}}{(a-1)^2}}
     $$
     $$
     AB = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{(a-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}}{(a-1)^2}}
     $$
     $$
     AB = \sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{(a-\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}}{(a-1)^2}}
     $$

Độ dài đoạn thẳng AB là $\sqrt{2}$.