Tính nghiệm

Điều kiện: $\cos 2x \neq 0$ Bước 1: Nhân cả hai vế của phương trình với $\cos 2x$ để chuyển đổi phương trình về dạng dễ dàng hơn. \[2\cos^2 2x + \cos 2x = 1 + \sin 2x\] Nhân cả hai vế với $\cos 2x$: \[2\cos^3 2x + \cos^2 2x = \cos 2x + \sin 2x \cos 2x\] Bước 2: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế và nhóm lại. \[2\cos^3 2x + \cos^2 2x - \cos 2x - \sin 2x \cos 2x = 0\] Bước 3: Nhóm các hạng tử có chứa $\cos 2x$ chung lại. \[\cos 2x(2\cos^2 2x + \cos 2x - 1 - \sin 2x) = 0\] Bước 4: Xét từng trường hợp: - Trường hợp 1: $\cos 2x = 0$ Điều này vi phạm điều kiện ban đầu, do đó không có nghiệm từ trường hợp này. - Trường hợp 2: $2\cos^2 2x + \cos 2x - 1 - \sin 2x = 0$ Bước 5: Sử dụng công thức $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ và $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ để đơn giản hóa phương trình. \[2\cos^2 2x + \cos 2x - 1 - 2 \sin x \cos x = 0\] Bước 6: Thay $\cos 2x = t$, ta có: \[2t^2 + t - 1 - 2 \sin x \sqrt{\frac{1+t}{2}} = 0\] Bước 7: Giải phương trình bậc hai $2t^2 + t - 1 = 0$: \[t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}\] Do đó, $t = \frac{1}{2}$ hoặc $t = -1$. Bước 8: Thay ngược lại để tìm giá trị của $x$: - Nếu $t = \frac{1}{2}$, thì $\cos 2x = \frac{1}{2}$ \[2x = \pm \frac{\pi}{3} + k\pi \Rightarrow x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}\] - Nếu $t = -1$, thì $\cos 2x = -1$ \[2x = \pi + k\pi \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \frac{k\pi}{2}\] Vậy nghiệm của phương trình là: \[x = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}\] \[x = \frac{\pi}{2} + \frac{k\pi}{2}\]