giupryuyfh Câu 12,Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có kích thước 3mx8m. Người ta cắt mỗi góc của tấm bìa một,hình vuông có cạnh là x để tạo ra hình hộp chữ nhật không nắp.,Hình võ :,,Với giá trị nào của x thì thể tích hình hộp chữ nhật đạt giá trị lớn nhất ?,Chọn một đáp án đúng,A $x=\frac13m$,B $x=\frac43m$,C $x=1m$,D $x=\frac23m$

Question

giupryuyfh Câu 12,Một tấm bìa cứng hình chữ nhật có kích thước 3mx8m. Người ta cắt mỗi góc của tấm bìa một,hình vuông có cạnh là x để tạo ra hình hộp chữ nhật không nắp.,Hình võ :,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/74802ac4a0014d0d96a6a9ef7d1e3b95.jpg />,Với giá trị nào của x thì thể tích hình hộp chữ nhật đạt giá trị lớn nhất ?,Chọn một đáp án đúng,A $x=\frac13m$,B $x=\frac43m$,C $x=1m$,D $x=\frac23m$

nguyễn việt minh phươnghg1 · Accepted Answer

Vì họ cắt ở bốn góc một hình vuông có cạnh là x ($\displaystyle 0< x< \frac{3}{2}$) để tạo thành hình hộp chữ nhật nên hình hộp chữ nhật đó sẽ có chiều cao là x, chiều rộng là $\displaystyle 3-2x$, chiều dài là $\displaystyle 8-2x$
Vậy thể tích hình hộp chữ nhật là: $\displaystyle x( 3-2x)( 8-2x)$
Xét: $\displaystyle f( x) =x( 3-2x)( 8-2x)$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
f( x) =4x^{3} -22x^{2} +24x\
\Rightarrow f'( x) =12x^{2} -44x+24\
f'( x) =0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l l}
x=\frac{2}{3} & \
x=3 &
\end{array} ight.
\end{array}$
Ta có bảng biến thiên:

Vậy thể tích lớn nhất tại $\displaystyle x=\frac{2}{3}$

Timi · Answer

Để tìm giá trị của $ x $ sao cho thể tích hình hộp chữ nhật đạt giá trị lớn nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định chiều dài, chiều rộng và chiều cao của hình hộp chữ nhật:
   - Chiều dài ban đầu của tấm bìa là 8m.
   - Chiều rộng ban đầu của tấm bìa là 3m.
   - Khi cắt mỗi góc một hình vuông có cạnh là $ x $, chiều dài mới của hình hộp chữ nhật sẽ là $ 8 - 2x $.
   - Chiều rộng mới của hình hộp chữ nhật sẽ là $ 3 - 2x $.
   - Chiều cao của hình hộp chữ nhật là $ x $.

2. Tính thể tích của hình hộp chữ nhật:
   Thể tích $ V $ của hình hộp chữ nhật được tính bằng công thức:
   $$
   V = \text{chiều dài} \times \text{chiều rộng} \times \text{chiều cao}
   $$
   Thay các giá trị vào công thức:
   $$
   V = (8 - 2x)(3 - 2x)x
   $$

3. Rút gọn biểu thức thể tích:
   $$
   V = x(8 - 2x)(3 - 2x)
   $$
   $$
   V = x(24 - 16x - 6x + 4x^2)
   $$
   $$
   V = x(24 - 22x + 4x^2)
   $$
   $$
   V = 4x^3 - 22x^2 + 24x
   $$

4. Tìm giá trị cực đại của thể tích:
   Để tìm giá trị cực đại của $ V $, chúng ta sẽ tính đạo hàm của $ V $ theo $ x $ và đặt đạo hàm đó bằng 0.
   $$
   V&#x27; = \frac{d}{dx}(4x^3 - 22x^2 + 24x)
   $$
   $$
   V&#x27; = 12x^2 - 44x + 24
   $$
   Đặt $ V&#x27; = 0 $:
   $$
   12x^2 - 44x + 24 = 0
   $$
   Chia cả hai vế cho 4:
   $$
   3x^2 - 11x + 6 = 0
   $$

5. Giải phương trình bậc hai:
   Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ ax^2 + bx + c = 0 $:
   $$
   x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
   $$
   Với $ a = 3 $, $ b = -11 $, và $ c = 6 $:
   $$
   x = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}
   $$
   $$
   x = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 72}}{6}
   $$
   $$
   x = \frac{11 \pm \sqrt{49}}{6}
   $$
   $$
   x = \frac{11 \pm 7}{6}
   $$
   Ta có hai nghiệm:
   $$
   x_1 = \frac{11 + 7}{6} = \frac{18}{6} = 3
   $$
   $$
   x_2 = \frac{11 - 7}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
   $$

6. Kiểm tra điều kiện xác định:
   - $ x = 3 $ không thỏa mãn vì khi đó chiều dài và chiều rộng của hình hộp chữ nhật sẽ là số âm.
   - $ x = \frac{2}{3} $ thỏa mãn điều kiện $ 0 < x < \frac{3}{2} $.

Do đó, giá trị của $ x $ để thể tích hình hộp chữ nhật đạt giá trị lớn nhất là $ x = \frac{2}{3} $.

Đáp án đúng là: D $ x = \frac{2}{3} $.