CMR:n^3 -3n^2 -n+3 chia hết cho 48 (n lẻ)

Question

thuyvy24 · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
A=n^{3} -3n^{2} -n+3\
=n^{2}( n-3) -( n-3)\
=( n-3)\left( n^{2} -1 ight)\
=( n-3)( n-1)( n+1)
\end{array}$
Vì n lẻ nên n có dạng $\displaystyle n=2k+1\ ( k\in N)$
Khi đó ta có: $\displaystyle A=( 2k+1-3)( 2k+1+1)( 2k+1-1)$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow A=( 2k-2)( 2k+2) .2k\
\Longrightarrow A=8( k-1)( k+1) k
\end{array}$
Ta thấy k-1;k;k+1 là ba số tự nhiên liên tiếp
$\displaystyle \Longrightarrow $Trong 3 số tồn tại ít nhất 1 số chẵn
$\displaystyle \Longrightarrow 8( k-1) k( k+1) \vdots 16$
$\displaystyle \Longrightarrow A\vdots 16$ (1)
Một số tự nhiên khii chia cho 3 số dư có thể là 0;1;2
+) Nếu n chia hết cho 3 thì $\displaystyle n-3\vdots 3$
$\displaystyle \Longrightarrow A\vdots 3$
+) Nếu n chia 3 dư 1 thì $\displaystyle n-1\vdots 3$
$\displaystyle \Longrightarrow A\vdots 3$
+) Nếu n chia 3 dư 2 thì $\displaystyle n+1\vdots 3$
$\displaystyle \Longrightarrow A\vdots 3$
Do đó$\displaystyle \ A\vdots 3\forall n$ (2)
Từ (1) và (2), kết hợp với (3;16)=1 ta có $\displaystyle A\vdots 48$

Timi · Answer

Để chứng minh rằng $ n^3 - 3n^2 - n + 3 $ chia hết cho 48 khi $ n $ là số lẻ, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Ta thấy $ n $ là số lẻ, do đó $ n = 2k + 1 $ với $ k $ là số nguyên.

Bước 2: Thay $ n = 2k + 1 $ vào biểu thức $ n^3 - 3n^2 - n + 3 $:

$$
(2k + 1)^3 - 3(2k + 1)^2 - (2k + 1) + 3
$$

Bước 3: Mở rộng các bình phương và lập phương:

$$
(2k + 1)^3 = 8k^3 + 12k^2 + 6k + 1
$$
$$
3(2k + 1)^2 = 3(4k^2 + 4k + 1) = 12k^2 + 12k + 3
$$

Bước 4: Thay vào biểu thức ban đầu:

$$
8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 - (12k^2 + 12k + 3) - (2k + 1) + 3
$$

Bước 5: Kết hợp các hạng tử:

$$
8k^3 + 12k^2 + 6k + 1 - 12k^2 - 12k - 3 - 2k - 1 + 3
$$

Bước 6: Rút gọn biểu thức:

$$
8k^3 + 12k^2 - 12k^2 + 6k - 12k - 2k + 1 - 3 - 1 + 3
$$
$$
= 8k^3 - 8k
$$

Bước 7: Ta thấy rằng:

$$
8k^3 - 8k = 8(k^3 - k)
$$

Bước 8: Ta cần chứng minh $ k^3 - k $ chia hết cho 6. Ta xét các trường hợp:

- Nếu $ k $ chẵn, $ k = 2m $, thì $ k^3 - k = (2m)^3 - 2m = 8m^3 - 2m = 2m(4m^2 - 1) $, chia hết cho 2.
- Nếu $ k $ lẻ, $ k = 2m + 1 $, thì $ k^3 - k = (2m + 1)^3 - (2m + 1) = 8m^3 + 12m^2 + 6m + 1 - 2m - 1 = 8m^3 + 12m^2 + 4m = 4m(2m^2 + 3m + 1) $, chia hết cho 4.

Do đó, $ k^3 - k $ luôn chia hết cho 6.

Bước 9: Kết luận:

$$
8(k^3 - k) \text{ chia hết cho } 8 \times 6 = 48
$$

Vậy $ n^3 - 3n^2 - n + 3 $ chia hết cho 48 khi $ n $ là số lẻ.