C=3 mũ 0 + 3 mũ 1 + 3 mũ 2 + 3 mũ 3 +...+ 3 mũ 11 Chứng minh rằng : C chia hết cho 13 và C chia hết cho 14

Để chứng minh rằng \( C = 3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + \ldots + 3^{11} \) chia hết cho 13 và 14, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Chứng minh \( C \) chia hết cho 13 Ta xét các số \( 3^n \mod 13 \): - \( 3^0 \equiv 1 \mod 13 \) - \( 3^1 \equiv 3 \mod 13 \) - \( 3^2 \equiv 9 \mod 13 \) - \( 3^3 \equiv 27 \equiv 1 \mod 13 \) Nhận thấy rằng \( 3^3 \equiv 1 \mod 13 \), do đó chu kỳ của \( 3^n \mod 13 \) là 3. Ta nhóm các số hạng lại theo chu kỳ này: \[ C = (3^0 + 3^1 + 3^2) + (3^3 + 3^4 + 3^5) + \ldots + (3^{9} + 3^{10} + 3^{11}) \] Mỗi nhóm \( (3^0 + 3^1 + 3^2) \equiv (1 + 3 + 9) \equiv 13 \equiv 0 \mod 13 \). Vì vậy, mỗi nhóm chia hết cho 13, do đó tổng \( C \) cũng chia hết cho 13. Bước 2: Chứng minh \( C \) chia hết cho 14 Ta xét các số \( 3^n \mod 14 \): - \( 3^0 \equiv 1 \mod 14 \) - \( 3^1 \equiv 3 \mod 14 \) - \( 3^2 \equiv 9 \mod 14 \) - \( 3^3 \equiv 27 \equiv 13 \mod 14 \) - \( 3^4 \equiv 39 \equiv 11 \mod 14 \) - \( 3^5 \equiv 33 \equiv 5 \mod 14 \) - \( 3^6 \equiv 15 \equiv 1 \mod 14 \) Nhận thấy rằng \( 3^6 \equiv 1 \mod 14 \), do đó chu kỳ của \( 3^n \mod 14 \) là 6. Ta nhóm các số hạng lại theo chu kỳ này: \[ C = (3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5) + (3^6 + 3^7 + 3^8 + 3^9 + 3^{10} + 3^{11}) \] Mỗi nhóm \( (3^0 + 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + 3^5) \equiv (1 + 3 + 9 + 13 + 11 + 5) \equiv 42 \equiv 0 \mod 14 \). Vì vậy, mỗi nhóm chia hết cho 14, do đó tổng \( C \) cũng chia hết cho 14. Kết luận Từ hai bước trên, ta đã chứng minh rằng \( C \) chia hết cho cả 13 và 14.