giải hộ mình ạ . Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được,mô hình hoá bằng hàm số $P(t)=\frac a{b+e^{-0,75t}},$ trong đó thời gian t được tính bằng giờ. Tại thời điểm,ban đầu $t=0,$ quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Tìm các giá trị của a và b.,Theo mô hình này, điều gì xảy ra với quần thể nấm men về lâu dài?

Question

Accepted Answer

Để tìm các giá trị của $a$ và $b$, ta sẽ sử dụng thông tin ban đầu và tốc độ tăng của quần thể nấm men.

1. Tìm giá trị của $a$ và $b$ từ điều kiện ban đầu:

- Tại thời điểm ban đầu $t = 0$, quần thể có 20 tế bào:
     $$
     P(0) = \frac{a}{b + e^{0}} = \frac{a}{b + 1} = 20
     $$
     Do đó:
     $$
     a = 20(b + 1)
     $$

2. Tìm giá trị của $a$ và $b$ từ tốc độ tăng của quần thể:

- Tốc độ tăng của quần thể nấm men tại thời điểm $t = 0$ là 12 tế bào/giờ. Ta tính đạo hàm của $P(t)$:
     $$
     P'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{a}{b + e^{-0,75t}}\right)
     $$
     Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:
     $$
     P'(t) = \frac{-a \cdot (-0,75) \cdot e^{-0,75t}}{(b + e^{-0,75t})^2} = \frac{0,75a \cdot e^{-0,75t}}{(b + e^{-0,75t})^2}
     $$
     Tại thời điểm $t = 0$:
     $$
     P'(0) = \frac{0,75a \cdot e^{0}}{(b + e^{0})^2} = \frac{0,75a}{(b + 1)^2} = 12
     $$
     Thay $a = 20(b + 1)$ vào:
     $$
     \frac{0,75 \cdot 20(b + 1)}{(b + 1)^2} = 12
     $$
     Rút gọn:
     $$
     \frac{15(b + 1)}{(b + 1)^2} = 12
     $$
     $$
     \frac{15}{b + 1} = 12
     $$
     $$
     15 = 12(b + 1)
     $$
     $$
     15 = 12b + 12
     $$
     $$
     3 = 12b
     $$
     $$
     b = \frac{1}{4}
     $$

Thay $b = \frac{1}{4}$ vào $a = 20(b + 1)$:
   $$
   a = 20\left(\frac{1}{4} + 1\right) = 20 \cdot \frac{5}{4} = 25
   $$

3. Kết luận về hành vi của quần thể nấm men về lâu dài:

- Khi $t \to \infty$, $e^{-0,75t} \to 0$. Do đó:
     $$
     P(t) = \frac{25}{\frac{1}{4} + 0} = \frac{25}{\frac{1}{4}} = 100
     $$

Vậy quần thể nấm men sẽ tiếp cận mức ổn định là 100 tế bào.

Đáp số:
- $a = 25$
- $b = \frac{1}{4}$
- Về lâu dài, quần thể nấm men sẽ tiếp cận mức ổn định là 100 tế bào.